3 ( 2.0 pontos).Determine
a equacio vetorial, as equações paramétricas do plano que contém os pontos A=(1,1,1), B=(-1,1,1) e C=(0,1,-3) .
Passo 1
O enunciado pede a equação vetorial e as equações paramétricas do plano que passa por A=(1,1,1), B=(-1,1,1) e C=(0,1,-3). O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço, usando a ideia de que um plano é determinado por um ponto e dois vetores diretores não colineares.
Passo 2
Primeiro, encontramos dois vetores diretores do plano, por exemplo
\overrightarrow{AB} = B - A = (-1-1,\;1-1,\;1-1) = (-2,0,0),
\overrightarrow{AC} = C - A = (0-1,\;1-1,\;-3-1) = (-1,0,-4).
Esses vetores não são colineares e ficam no plano.
Passo 3
Usando a definição de equação vetorial de um plano, escolhemos o ponto A como ponto-base e os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} como diretores. Assim, para escalares s,t,
\vec r = (1,1,1) + s\,(-2,0,0) + t\,(-1,0,-4)
Passo 4
Para obter as equações paramétricas, escrevemos \vec r=(x,y,z) e igualamos componente a componente:
\begin{cases} x = 1 - 2s - t,\\\ y = 1,\\\ z = 1 - 4t. \end{cases}
Resposta
Equação vetorial:
\vec r = (1,1,1) + s\,(-2,0,0) + t\,(-1,0,-4)
Equações paramétricas:
\begin{cases} x = 1 - 2s - t,\\\ y = 1,\\\ z = 1 - 4t. \end{cases}