Determine uma base ortonormal de cada um dos seguintes subespaços do R^4 munido do produto interno usual:
© W e W^perp, onde e .

Passo 1

Estamos com o subespaço WsubsetR^4 dado pelas duas equações lineares x+y=0 e 2x - y + z=0. O objetivo é achar uma base ortonormal de W e de seu complementar ortogonal W^perp usando o produto interno padrão.

Passo 2

Para achar uma base de W, escrevemos as equações em forma paramétrica. De x+y=0 vem y=-x e de 2x - y + z=0 vem ; 2x-(-x)+z=3x+z=0;, logo z=-3x. Um vetor genérico de W é
(x,y,z,w)=l(x,-x,-3x,wr)=x,(1,-1,-3,0)+w,(0,0,0,1)
Assim uma base de W é dada por v1=(1,-1,-3,0) e v2=(0,0,0,1).

Passo 3

Agora aplicamos Gram–Schmidt em v1,v2. Note que v2 já é unitário e orthogonal a v1, pois v1cdot v2=0. A norma de v1 é |v1|=raiz1^2+(-1)^2+(-3)^2+0^2=raiz11. Logo um vetor unitário é u1=tfrac1raiz11(1,-1,-3,0). Mantemos u2=v2=(0,0,0,1).
Portanto uma base ortonormal de W é
l1raiz11(1,-1,-3,0),;(0,0,0,1)r

Passo 4

Para achar W^perp podemos usar as próprias equações que definem W: o complemento ortogonal é gerado pelos vetores das linhas da matriz dos coeficientes
A=1&1&0&02&-1&1&0,
isto é w1=(1,1,0,0) e w2=(2,-1,1,0). Faremos Gram–Schmidt em w1,w2:
O primeiro vetor unitário é e1=tfrac1raiz2(1,1,0,0).

Passo 5

Subtraindo de w2 a projeção em e1 obtemos
v2 = w2 - (w2cdot e1),e1 = (2,-1,1,0) - 2-12(1,1,0,0) = l(tfrac32,-tfrac32,1,0r)
A norma de v2 é raiztfrac94+tfrac94+1=raiztfrac112. Logo o segundo vetor unitário é
e2 = v2raiz11/2 = 1raiz22(3,-3,2,0)
Assim uma base ortonormal de W^perp é
ltfrac1raiz2(1,1,0,0),;tfrac1raiz22(3,-3,2,0)r

Resposta

Uma base ortonormal de W é tfrac1raiz11(1,-1,-3,0),,(0,0,0,1) e de W^\perp é tfrac1raiz2(1,1,0,0),,tfrac1raiz22(3,-3,2,0).

Exercícios relacionados