Determine uma base ortonormal de cada um dos seguintes subespaços do
munido do produto interno usual:
©
e
, onde
e
.
©
Passo 1
Estamos com o subespaço
dado pelas duas equações lineares
e
. O objetivo é achar uma base ortonormal de
e de seu complementar ortogonal
usando o produto interno padrão.
Passo 2
Para achar uma base de
, escrevemos as equações em forma paramétrica. De
vem
e de
vem ;
;, logo
. Um vetor genérico de
é
Assim uma base de
é dada por
e
.
Passo 3
Agora aplicamos Gram–Schmidt em
. Note que
já é unitário e orthogonal a
, pois
. A norma de
é
. Logo um vetor unitário é
. Mantemos
.
Portanto uma base ortonormal de é
Portanto uma base ortonormal de
Passo 4
Para achar
podemos usar as próprias equações que definem
: o complemento ortogonal é gerado pelos vetores das linhas da matriz dos coeficientes
isto é
e
. Faremos Gram–Schmidt em
:
O primeiro vetor unitário é .
O primeiro vetor unitário é
Passo 5
Subtraindo de
a projeção em
obtemos
A norma de
é
. Logo o segundo vetor unitário é
Assim uma base ortonormal de
é
Resposta
Uma base ortonormal de W é
e de W^\perp é
.