Determine a projeção ortogonal do vetor v in V sobre o subespaço W de V em cada um dos casos abaixo.
(a) e , com o produto interno usual.

Passo 1

Neste exercício precisamos projetar ortogonalmente o vetor v=(1,1,0,-1) no subespaço WsubsetR^4 definido pelas equações x-y-z=0 e z-2w=0, usando o produto interno usual. A teoria de projeção em subespaços diz que devemos achar win W tal que o resíduo v-w pertença a W^perp. Se n1,n2 gera W^perp, podemos escrever v-w=alpha n1+beta n2 e então w=v-alpha n1-beta n2.

Passo 2

As duas equações que definem W têm vetores normais n1=(1,-1,-1,0) para x-y-z=0 e n2=(0,0,1,-2) para z-2w=0. Esses n1 e n2 geram W^perp.

Passo 3

Escrevendo w=v-alpha n1-beta n2 obtemos
w1=1-alpha, w2=1+alpha, w3=alpha-beta, w4=-1+2beta
Como w deve satisfazer as equações de W, impomos
w1-w2-w3=0
w3-2w4=0
Isso gera um sistema linear em alpha e beta.

Passo 4

Resolvendo esse sistema encontra-se alpha=1/7 e beta=3/7. Substituindo de volta em w vem
w=l(tfrac67,tfrac87,-tfrac27,-tfrac17r)

Resposta

l(tfrac67,tfrac87,-tfrac27,-tfrac17r)

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