Determine a projeção ortogonal do vetor
sobre o subespaço
de
em cada um dos casos abaixo.
(a)
e
, com o produto interno usual.
(a)
Passo 1
Neste exercício precisamos projetar ortogonalmente o vetor
no subespaço
definido pelas equações
e
, usando o produto interno usual. A teoria de projeção em subespaços diz que devemos achar
tal que o resíduo
pertença a
. Se
gera
, podemos escrever
e então
.
Passo 2
As duas equações que definem
têm vetores normais
para
e
para
. Esses
e
geram
.
Passo 3
Escrevendo
obtemos
Como
deve satisfazer as equações de
, impomos
Isso gera um sistema linear em
e
.
Passo 4
Resolvendo esse sistema encontra-se
e
. Substituindo de volta em
vem