Determine a projeção ortogonal do vetor v in V sobre o subespaço W de V em cada um dos casos abaixo.
(b) v=(1,1,1,1) in R^4, W=[(1,1,0,0),(0,0,1,1)], com o produto interno usual.

Passo 1

Temos o vetor v=(1,1,1,1) em R^4 e o subespaço W=spanw1,w2 com w1=(1,1,0,0) e w2=(0,0,1,1). O conteúdo é projeção ortogonal em subespaço usando produto interno usual.

Passo 2

Verificamos se w1 e w2 são ortogonais calculando o produto interno:
w1cdot w2 = 1cdot0 + 1cdot0 + 0cdot1 + 0cdot1 = 0
Como o resultado é zero, eles formam uma base ortogonal de W.

Passo 3

Calculamos agora os produtos internos e normas de cada gerador para usar na fórmula de projeção:
vcdot w1 = 1+1+0+0 = 2, w1cdot w1 = 1+1 = 2,
vcdot w2 = 0+0+1+1 = 2, w2cdot w2 = 1+1 = 2

Passo 4

Aplicamos a fórmula da projeção ortogonal em base ortogonal:
projW(v) = vcdot w1w1cdot w1,w1 + vcdot w2w2cdot w2,w2
Substituindo os valores:
22w1 + 22w2 = 1cdot w1 + 1cdot w2

Passo 5

Somando os vetores obtém-se:
w1 + w2 = (1,1,0,0) + (0,0,1,1) = (1,1,1,1)

Resposta

(1,1,1,1)

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