Seja
com o produto interno
. Use o processo de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortonomal de
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma base ortonormal de W = span{A₁, A₂} em V = M₂(ℝ), usando o produto interno ⟨A,B⟩ = tr(BᵀA) e o processo de Gram–Schmidt.
Passo 2
Primeiro vetor: tomamos v₁ = A₁ =
. Calculamos a norma via o produto interno:
Como
Passo 3
Para o segundo vetor, tomamos v₂ = A₂ =
e subtraímos a projeção sobre e₁:
Passo 4
Calculando o escalar:
Passo 5
Logo, v₂ já é ortogonal a e₁, e precisamos apenas normalizá-lo. Calculamos a norma de v₂:
Passo 6
Portanto o segundo vetor ortonormal é
Resposta
Uma base ortonormal de W é: {
,
}.