Seja V=M2(R) com o produto interno ll1 & 0 0 & 0. Use o processo de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortonomal de ll0 & 1 0 & 1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base ortonormal de W = span{A₁, A₂} em V = M₂(ℝ), usando o produto interno ⟨A,B⟩ = tr(BᵀA) e o processo de Gram–Schmidt.

Passo 2

Primeiro vetor: tomamos v₁ = A₁ = 1 & 00 & 0. Calculamos a norma via o produto interno:
|v₁| = raizlang<= v₁,v₁rang<= = raiztr(v₁^T v₁) = raiz1 = 1
Como |v₁|=1, definimos o primeiro vetor ortonormal e₁ = v₁.

Passo 3

Para o segundo vetor, tomamos v₂ = A₂ = 0 & 10 & 1 e subtraímos a projeção sobre e₁:
proje₁(v₂) = lang<= v₂,e₁rang<=,e₁ = tr(e₁^T v₂),e₁

Passo 4

Calculando o escalar:
lang<= v₂,e₁rang<= = trl(1&00&0 0&10&1r) = trl(0&10&0r) = 0

Passo 5

Logo, v₂ já é ortogonal a e₁, e precisamos apenas normalizá-lo. Calculamos a norma de v₂:
|v₂| = raiztr(v₂^T v₂) = raiz0^2+1^2+0^2+1^2 = raiz2

Passo 6

Portanto o segundo vetor ortonormal é
e₂ = 1raiz20 & 10 & 1

Resposta

Uma base ortonormal de W é: { 1 & 00 & 0, tfrac1raiz20 & 10 & 1}.

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