Determine a base ortonormal de P2(R) obtida pelo processo de Gram-Schmidt a partir da base P2(R), onde o produto interno em lang<= f, grang<==integral0^1 f(t) g(t) d t é dado por .

Passo 1

O enunciado pede para obter uma base ortonormal de P₂(ℝ) usando o processo de Gram-Schmidt, partindo da base {1, 1+t, t²} e com o produto interno definido por ⟨f,g⟩=∫₀¹f(t)g(t)dt¹. Vamos usar teoria de polinômios, produto interno e Gram-Schmidt.

Passo 2

Começamos normalizando o primeiro vetor v₁(t)=1. Calculamos ||v₁||²=∫₀¹1²dt=1²¹², então ||v₁||=1 e o primeiro vetor ortonormal é e₁(t)=v₁(t)||v₁||=1.

Passo 3

Para o segundo vetor v₂(t)=1+t, projetamos em e₁ e subtraímos:
⟨v₂,e₁⟩=∫₀¹(1+t)·1dt=32,¹
w₂(t)=v₂(t)-32·e₁(t)=1+t-32=t-12
Em seguida, normatizamos:
||w₂||²=∫₀¹l(t-tfrac12r)²dt=112,²¹²
||w₂||=12√3,
portanto
e₂(t)=w₂(t)||w₂||=2√3l(t-tfrac12r)

Passo 4

Para o terceiro vetor v₃(t)=t²², removemos as projeções em e₁ e e₂:
⟨v₃,e₁⟩=∫₀¹t²dt=tfrac13,¹²
⟨v₃,e₂⟩=2√3∫₀¹t²l(t-tfrac12r)dt=√36,¹²
w₃(t)=v₃(t)-tfrac13·e₁(t)-tfrac√36·e₂(t)=t²-tfrac13-l(t-tfrac12r)=t²-t+tfrac16²²
Calculamos a norma:
||w₃||²=∫₀¹l(t²-t+tfrac16r)²dt=1180,²¹²²
||w₃||=16√5,
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e₃(t)=w₃(t)||w₃||=6√5l(t²-t+tfrac16r)²

Resposta

A base ortonormal obtida é 1,;2raiz3,(t-tfrac12),;6raiz5,(t²-t+tfrac16)².

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