Determine a base ortonormal de R^3 obtida pelo processo de Gram-Schmidt a partir da base u, v, w em cada um dos seguintes casos:
(b) u=(3,4,12), v=(7,-8,15), w=(-15,6,44)

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem a base {u,v,w} em R^3 com
u=(3,4,12),
v=(7,-8,15),
w=(-15,6,44),
o objetivo é aplicar o processo de Gram–Schmidt para obter uma base ortonormal. Vamos usar o produto interno usual e norma Euclidiana.

Passo 2

Para gerar o primeiro vetor ortonormal e1, normalizamos u:
Calculamos
|u| = raiz3^2 + 4^2 + 12^2 = raiz9 + 16 + 144 = 13
Logo,
e1 = u|u| = l(313,413,1213r)

Passo 3

Para obter e2, primeiro definimos
v' = v - proje1(v),
onde
proje1(v) = (vcdot e1),e1
Calculamos
v cdot e1 = 7cdot313 + (-8)cdot413 + 15cdot1213 = 21 - 32 + 18013 = 13
Então
v' = (7,-8,15) - 13l(313,413,1213r) = (7,-8,15) - (3,4,12) = (4,-12,3)
A norma de v' é
|v'| = raiz4^2 + (-12)^2 + 3^2 = raiz16 + 144 + 9 = 13
Então
e2 = v'|v'| = l(413, -1213, 313r)

Passo 4

Para gerar e3, fazemos
w' = w - proje1(w) - proje2(w)
Calculamos
w cdot e1 = -15cdot3 + 6cdot4 + 44cdot1213 = -45 +24 +52813 = 39,
logo
proje1(w) = 39,e1 = (9,12,36)
Também
w cdot e2 = -15cdot413 + 6cdotl(-1213r) + 44cdot313 = -60 -72 +13213 = 0,
então proje2(w)=0. Logo
w' = (-15,6,44) - (9,12,36) = (-24,-6,8)
A norma de w' é
|w'| = raiz(-24)^2 + (-6)^2 + 8^2 = raiz576 +36 +64 = 26
Portanto
e3 = w'|w'| = l(-1213, -313, 413r)

Resposta

A base ortonormal obtida é
.

Exercícios relacionados