Uma matriz é dita ser uma raiz quadrada de se . Se , determine
Todos os possíveis autovalores da sua raiz quadrada.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar todos os possíveis autovalores da raiz quadrada da matriz A, onde A é a matriz identidade 2 times 2. Isso está relacionado com álgebra linear, mais especificamente com conceitos de matrizes, autovalores e raízes de matrizes. Vamos precisar entender o que significa uma matriz ser uma raiz quadrada de outra e como isso afeta os autovalores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma raiz quadrada de uma matriz. Dizemos que uma matriz B é uma raiz quadrada de A se, ao multiplicar B por ela mesma, obtemos A, ou seja, B^2 = A. No nosso caso, A é a matriz identidade:
A = 1 & 0 0 & 1
Passo 3
Agora, vamos pensar nos autovalores. Se lambda é um autovalor de B, então lambda^2 será um autovalor de B^2. Mas como B^2 = A e sabemos que os autovalores da matriz identidade são todos iguais a 1, temos:
lambda^2 = 1
Passo 4
Resolvendo a equação lambda^2 = 1, encontramos os valores de lambda que satisfazem essa igualdade. Isso nos dá:
lambda = pm 1
Resposta
Portanto, os possíveis autovalores da raiz quadrada de A são 1 e -1.