Determine uma base ortonormal para o subespaço de R^4 gerado pelos vetores u1= (1,1,0,0), u2=(1,0,1,0) e u3=(1,0,0,1) usando o processo de Gram-Schmidt.

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal para o subespaço de R^4 gerado por
u1=(1,1,0,0), u2=(1,0,1,0) e u3=(1,0,0,1).
O conteúdo usado será o processo de Gram–Schmidt, que em R^4 emprega o produto interno
lang<= v,wrang<= = v1w1+v2w2+v3w3+v4w4 e a projeção de u sobre um vetor unitário e dada por lang<= u,erang<= e.

Passo 2

Primeiro ortonormalizamos u1. Definimos
v1 = u1 = (1,1,0,0)
A norma de v1 é
|v1| = raiz1^2 + 1^2 + 0^2 + 0^2 = raiz2
Logo o primeiro vetor unitário é
e1 = v1|v1| = 1raiz2,(1,1,0,0)

Passo 3

Agora ortogonalizamos u2 a e1. Calculamos
lang<= u2, e1rang<= = (1,0,1,0)cdot1raiz2(1,1,0,0) = 1raiz2
Então
v2 = u2 - lang<= u2,e1rang<=,e1 = (1,0,1,0) - 1raiz2cdot1raiz2(1,1,0,0) = l(tfrac12,-tfrac12,1,0r)
A norma de v2 é
|v2| = raizl(tfrac12r)^2 + l(-tfrac12r)^2 + 1^2 = raiztfrac14 + tfrac14 + 1 = raiztfrac32 = raiz62
Logo
e2 = v2|v2| = 1raiz6,(1,-1,2,0)

Passo 4

Por fim ortogonalizamos u3 a e1 e e2. Primeiro
lang<= u3,e1rang<= = (1,0,0,1)cdot1raiz2(1,1,0,0) = 1raiz2, lang<= u3,e2rang<= = (1,0,0,1)cdot1raiz6(1,-1,2,0) = 1raiz6
Então
v3 = u3 - 1raiz2,e1 - 1raiz6,e2 = (1,0,0,1) - tfrac12(1,1,0,0) - tfrac16(1,-1,2,0) = l(tfrac13,-tfrac13,-tfrac13,1r)
A norma de v3 é
|v3| = raizl(tfrac13r)^2+l(-tfrac13r)^2+l(-tfrac13r)^2+1^2 = raiztfrac13+1 = 2raiz3
Portanto
e3 = v3|v3| = raiz32,l(tfrac13,-tfrac13,-tfrac13,1r) = l(tfracraiz36,,-tfracraiz36,,-tfracraiz36,,tfracraiz32r)

Resposta

Uma base ortonormal do subespaço gerado por u1,u2,u3 é
e1 = 1raiz2(1,1,0,0), e2 = 1raiz6(1,-1,2,0), e3 = l(tfracraiz36,-tfracraiz36,-tfracraiz36,tfracraiz32r)

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