Encontre a projeção ortogonal do vetor v=(2,3,4) sobre o subespaço W de R^3 gerado pelo vetor w=(1,0,1).

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal de v=(2,3,4) sobre o subespaço WsubsetR^3 gerado por w=(1,0,1). Para isso, usamos a fórmula da projeção de v sobre a reta (subespaço de dimensão 1) gerada por w:
projW(v) =vcdotwwcdotw;w

Passo 2

Calculemos o produto interno vcdotw e wcdotw:
vcdotw =2cdot1+3cdot0+4cdot1=2+0+4=6,
wcdotw =1^2+0^2+1^2=1+0+1=2

Passo 3

Substituindo na fórmula da projeção, obtemos
projW(v) =62,w =3,(1,0,1) =(3,0,3)

Resposta

A projeção ortogonal de v sobre W é (3,0,3).

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