Determine uma base ortonormal para o subespaço de R4 gerado pelos vetores v1(1,0,-1,1), v2(0,1,0,1) e v3(1,4,1,3).

Passo 1

Temos os vetores v1=(1,0,-1,1), v2=(0,1,0,1) e v3=(1,4,1,3) em R^4. Precisamos encontrar uma base ortonormal do subespaço W=spanv1,v2,v3. Para isso, vamos aplicar o processo de Gram–Schmidt, que gera vetores ortogonais e depois os normaliza.

Passo 2

Definimos u1=v1. Calculamos
|u1|=raiz1^2+0^2+(-1)^2+1^2=raiz3,
então
e1=u1|u1|=1raiz3(1,0,-1,1)

Passo 3

Para u2, subtraímos de v2 sua projeção em e1:
proje1(v2)=(v2cdot e1),e1, v2cdot e1=0cdot1+1cdot0+0cdot(-1)+1cdot1raiz3=1raiz3
Logo,
u2=v2-1raiz3,e1=(0,1,0,1)-13(1,0,-1,1)=l(-13,1,13,23r)
A norma é
|u2|=raiztfrac19+1+tfrac19+tfrac49=raiz153,
então
e2=u2|u2|=l(-tfrac13,1,tfrac13,tfrac23r)tfracraiz153=1raiz15(-1,3,1,2)

Passo 4

Para u3, subtraímos as projeções de v3 em e1 e e2. Primeiro,
v3cdot e1=1cdot1+4cdot0+1cdot(-1)+3cdot1raiz3=3raiz3=raiz3, proje1(v3)=raiz3,e1=u1
Depois,
v3cdot e2=-1+12+1+6raiz15=18raiz15, proje2(v3)=18raiz15,e2=65(-1,3,1,2)
Assim
u3=v3-u1-65(-1,3,1,2)=(1,4,1,3)-(1,0,-1,1)-l(-tfrac65,tfrac185,tfrac65,tfrac125r)=15(6,2,4,-2)
Como |u3|=tfrac2raiz155, normalizamos e obtemos
e3=u3|u3|=12raiz15(6,2,4,-2)=1raiz15(3,1,2,-1)

Resposta

Uma base ortonormal de W é:
e1=1raiz3(1,0,-1,1), e2=1raiz15(-1,3,1,2), e3=1raiz15(3,1,2,-1)

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