Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
f(x, y)=x^2 y^2-x y

Passo 1

O enunciado pede para determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(x,y)=x^2y^2-xy
Aqui o conteúdo é cálculo de derivadas parciais: primeiro obtemos as derivadas de primeira ordem e depois derivamos cada uma delas novamente.

Passo 2

Vamos primeiro achar as derivadas parciais de primeira ordem, tratando a outra variável como constante.
partial fpartial x =partialpartial x(x^2y^2-xy) =2x,y^2-y
partial fpartial y =partialpartial y(x^2y^2-xy) =2x^2y - x

Passo 3

Agora derivamos cada uma dessas parciais em relação à mesma variável para obter as derivadas de segunda ordem “puros”.
partial^2 fpartial x^2 =partialpartial x(2x,y^2-y) =2,y^2
partial^2 fpartial y^2 =partialpartial y(2x^2y - x) =2,x^2

Passo 4

Por fim, calculamos as derivadas mistas, derivando a parcial em x em relação a y e a parcial em y em relação a x.
partial^2 fpartial xpartial y =partialpartial y(2x,y^2-y) =4x,y - 1
partial^2 fpartial ypartial x =partialpartial x(2x^2y - x) =4x,y - 1

Resposta

fxx=2,y^2, fxy=4x,y-1, fyx=4x,y-1, fyy=2,x^2

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