Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
f(x, y)=x^2-3 y^2+4 x^2 y^2

Passo 1

O enunciado pede para achar todas as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=x^2-3y^2+4x^2y^2
Vamos primeiro calcular as derivadas parciais de primeira ordem e depois derivar de novo em cada variável.

Passo 2

Derivando termo a termo em relação a x e a y, temos
partial fpartial x =partialpartial xl(x^2r) +partialpartial xl(-3y^2r) +partialpartial xl(4x^2y^2r) =2x+0+8xy^2 =2x+8xy^2,
partial fpartial y =partialpartial yl(x^2r) +partialpartial yl(-3y^2r) +partialpartial yl(4x^2y^2r) =0-6y+8x^2y =-6y+8x^2y

Passo 3

A partir de partial fpartial x=2x+8xy^2, calculamos
partial^2fpartial x^2 =partialpartial xl(2x+8xy^2r) =2+8y^2,
partial^2fpartial xpartial y =partialpartial yl(2x+8xy^2r) =16xy

Passo 4

A partir de partial fpartial y=-6y+8x^2y, calculamos
partial^2fpartial y^2 =partialpartial yl(-6y+8x^2yr) =-6+8x^2,
partial^2fpartial ypartial x =partialpartial xl(-6y+8x^2yr) =16xy

Resposta

partial^2fpartial x^2=2+8y^2
partial^2fpartial y^2=-6+8x^2
partial^2fpartial xpartial y=16xy
partial^2fpartial ypartial x=16xy

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