1. integral x d x(x^2+1)^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral integral x , dx(x^2+1)^3. Esse exercício está na área de cálculo, mais especificamente em integração. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando partes da integral em algo mais fácil de trabalhar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para facilitar. Olha o denominador (x^2 + 1)^3 e o numerador x , dx. Isso sugere que a gente pode escolher:
u = x^2 + 1
Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x para achar du:
dudx = 2x
du = 2x , dx
Queremos expressar x , dx em termos de du:
x , dx = du2

Passo 3

Com a substituição feita, a integral original fica mais simples. Vamos substituir u e x , dx na integral:
integral x , dx(x^2+1)^3 = integral du2u^3
Podemos tirar a constante 12 de fora da integral:
12 integral u^-3 , du
Agora, vamos integrar u^-3. Lembra que a integral de u^n é u^n+1n+1, desde que n neq -1:
12 cdot u^-2-2 + C
= -14 u^-2 + C

Passo 4

Por fim, vamos substituir u de volta pela expressão original em termos de x:
-14 (x^2 + 1)^-2 + C
Isso pode ser reescrito de forma mais simples:
-14(x^2 + 1)^2 + C

Resposta

A integral é igual a -14(x^2+1)^2 + C.

Exercícios relacionados