Seja T: K^N K^N dada por T. Mostre que não se escreve como soma direta de um operador nilpotente com um isomorfismo.

Passo 1

O enunciado define o operador de deslocamento à direita em K^N:
Temos T(x1,x2,dots)=(0,x1,x2,dots) e queremos provar que não existe decomposição
T=N+U
com N nilpotente e U isomorfismo. Vamos usar a teoria de anéis de endomorfismos: se U é invertível e N é nilpotente, então U+N também é invertível, contrariamente ao que ocorre com T.

Passo 2

Primeiro a gente mostra que T não é invertível. De fato:
T é injetor, pois T(x)=0 implica (0,x1,x2,dots)=(0,0,0,dots) e assim x=0.
– Mas T não é sobrejetor, já que não há x tal que T(x)=(1,0,0,dots) (sempre o primeiro componente da imagem é zero).
Logo T não tem inversa.

Passo 3

Agora suponha, por absurdo, que existam N nilpotente (isto é, N^m=0 para algum m) e U isomorfismo tais que T=N+U. Então
T=U+(N)=Ul(I+U^-1Nr)
Como U^-1N é nilpotente (pois (U^-1N)^m=U^-1N^m=0), sabemos que
I+U^-1N
é invertível com inversa dada pela série finita
(I+U^-1N)^-1= sumi=0^m-1(-U^-1N)^i
Logo o produto de dois invertíveis, U e I+U^-1N, seria invertível. Isso contraria o fato de T não ser invertível.

Passo 4

Como chegamos a uma contradição, concluímos que não existe decomposição T=N+U com N nilpotente e U isomorfismo.

Resposta

Não há como escrever T como soma direta de um operador nilpotente com um isomorfismo, pois isso implicaria que T seria invertível, o que não ocorre.

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