Seja
dada por
. Mostre que
não se escreve como soma direta de um operador nilpotente com um isomorfismo.
Passo 1
O enunciado define o operador de deslocamento à direita em
:
Temos e queremos provar que não existe decomposição
Temos
com
Passo 2
Primeiro a gente mostra que
não é invertível. De fato:
– é injetor, pois
implica
e assim
.
– Mas não é sobrejetor, já que não há
tal que
(sempre o primeiro componente da imagem é zero).
Logo não tem inversa.
–
– Mas
Logo
Passo 3
Agora suponha, por absurdo, que existam
nilpotente (isto é,
para algum
) e
isomorfismo tais que
. Então
Como
é invertível com inversa dada pela série finita
Logo o produto de dois invertíveis,
e
, seria invertível. Isso contraria o fato de
não ser invertível.
Passo 4
Como chegamos a uma contradição, concluímos que não existe decomposição
com
nilpotente e
isomorfismo.
Resposta
Não há como escrever
como soma direta de um operador nilpotente com um isomorfismo, pois isso implicaria que
seria invertível, o que não ocorre.