Sejam
um
-e.v. de
um operador linear,
um subespaço
-invariante. Mostre que
e
. Dica: lembre que se
é diagonal por blocos
onde
e
, então
.
Passo 1
O exercício diz: temos um espaço vetorial V de dimensão n sobre um corpo K, um operador linear T:V→V, e um subespaço W⊆V que é T-invariante (ou seja, T(W)⊆W). Precisamos mostrar que o polinômio característico de T restringido a W, p_{T|W}, divide o polinômio característico p_T, e que o polinômio mínimo m{T|_W} divide o polinômio mínimo m_T.
Passo 2
Como W é T-invariante, escolhemos uma base de W, digamos {w₁,…,w_k}, e completamos para uma base de V: {w₁,…,w_k, v_{k+1},…,v_n}. Na base organizada dessa forma, a matriz de T fica em forma de bloco triangular:
onde B é a matriz de T|_W (tamanho k×k) e D representa T na complementar (tamanho (n−k)×(n−k)).
Passo 3
Para o polinômio característico, usamos que
Mas
é exatamente p_{T|W}(t). Logo p{T|_W}(t) divide p_T(t).
Passo 4
Para o polinômio mínimo, seja m_T(t) o polinômio mínimo de A: temos m_T(A)=0. Pela forma em bloco,
o que implica m_T(B)=0. Isso mostra que o polinômio m_T anula T|_W, então o menor monic que anula T|W (que é m{T|_W}) divide m_T.
Passo 5
Assim concluímos as duas divisões pedidas.
Resposta
Mostramos que
e
.