Sejam V um K-e.v. de dim V=n, T: V V um operador linear, W subseteq V um subespaço T-invariante. Mostre que A in Mn(K) e A=(ll B & C 0 & D ) . Dica: lembre que se B in Mk(K) é diagonal por blocos
D in Mn-k(K)
onde ccB^n & widetildeC 0 & D^n e , então .

Passo 1

O exercício diz: temos um espaço vetorial V de dimensão n sobre um corpo K, um operador linear T:V→V, e um subespaço W⊆V que é T-invariante (ou seja, T(W)⊆W). Precisamos mostrar que o polinômio característico de T restringido a W, p_{T|W}, divide o polinômio característico p_T, e que o polinômio mínimo m{T|_W} divide o polinômio mínimo m_T.

Passo 2

Como W é T-invariante, escolhemos uma base de W, digamos {w₁,…,w_k}, e completamos para uma base de V: {w₁,…,w_k, v_{k+1},…,v_n}. Na base organizada dessa forma, a matriz de T fica em forma de bloco triangular:
A=[T]base = B & C0 & D,
onde B é a matriz de T|_W (tamanho k×k) e D representa T na complementar (tamanho (n−k)×(n−k)).

Passo 3

Para o polinômio característico, usamos que
pT(t)=det(tIn - A) = dettIk - B & -C0 & tIn-k-D = det(tIk - B)cdotdet(tIn-k-D)
Mas det(tIk-B) é exatamente p_{T|W}(t). Logo p{T|_W}(t) divide p_T(t).

Passo 4

Para o polinômio mínimo, seja m_T(t) o polinômio mínimo de A: temos m_T(A)=0. Pela forma em bloco,
mT(A)=mT(B) & *0 & mT(D)=0,
o que implica m_T(B)=0. Isso mostra que o polinômio m_T anula T|_W, então o menor monic que anula T|W (que é m{T|_W}) divide m_T.

Passo 5

Assim concluímos as duas divisões pedidas.

Resposta

Mostramos que pT|W(t)mid pT(t) e mT|W(t)mid mT(t).

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