Estude quanto à possibilidade de diagonalização as matrizes:
cccc-1 & -4 & -2 & -2 -4 & -1 & -2 & -2 2 & 2 & 1 & 4 2 & 2 & 4 & 1

Passo 1

O problema pede pra estudar se a matriz
M= -1 & -4 & -2 & -2 -4 & -1 & -2 & -2 2 & 2 & 1 & 4 2 & 2 & 4 & 1
é diagonalizável. Vamos usar o conceito de autovalores (e valores próprios), autovetores e comparar multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor.

Passo 2

Primeiro, a gente encontra os autovalores de M. Em vez de calcular o polinômio característico completo, observe esses vetores candidatos:
  • u=(1,-1,0,0)^T:
M,u=(3, -3,0,0)^T=3,u,
logo lambda=3 é autovalor.
- v=(0,0,1,-1)^T:
M,v=(0,0,-3,3)^T=-3,v,
logo lambda=-3 é autovalor.
Em seguida, buscando vetores na forma (1,1,a,a)^T, chegamos a dois novos valores de lambda, que dão na verdade +3 e -3 de novo. Concluímos que o polinômio característico é
(lambda-3)^2(lambda+3)^2=0,
ou seja, os autovalores são
lambda1=3 (mu< alg 2),lambda2=-3 (mu< alg 2)

Passo 3

Agora a gente calcula a multiplicidade geométrica de lambda=3, resolvendo
(M-3I)x=0
Fazendo isso e simplificando, obtemos a condição
x3=x4=-(x1+x2),
o que deixa dois graus de liberdade (por exemplo, x1 e x2 livres). Logo a dimensão do espaço próprio de lambda=3 é 2, igual à sua multiplicidade algébrica.

Passo 4

Para lambda=-3, resolvemos
(M+3I)x=0
Isso conduz às relações
x1=x2, x2+x3+x4=0,
o que também deixa dois parâmetros livres (por exemplo, x3 e x4). Logo a multiplicidade geométrica de lambda=-3 é 2, coincidindo com a multiplicidade algébrica.

Passo 5

Como para cada autovalor a multiplicidade geométrica coincide com a algébrica e a soma dessas dimensões é 4 (a ordem da matriz), concluímos que M é diagonalizável

Resposta

A matriz é diagonalizável sobre R, pois os autovalores são 3 (mult. alg. 2, mult. geom. 2) e -3 (mult. alg. 2, mult. geom. 2).

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