Quais das igualdades a seguir são sempre verdadeiras? Quais nem sempre são verdadeiras? Justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem a seguinte igualdade para analisar:
Aqui, estamos lidando com produto vetorial (
) e produto escalar (
) entre vetores. Para resolver, vamos precisar lembrar das propriedades dessas operações.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que o produto vetorial entre dois vetores
e
resulta em um novo vetor que é perpendicular a ambos. Ou seja:
Isso significa que o ângulo entre
e
(ou
) é de 90 graus.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores é dado por:
Onde
é o ângulo entre os vetores
e
. Se os vetores forem perpendiculares,
, então o produto escalar será zero.
Passo 4
Aplicando isso à nossa igualdade:
-
: Aqui, estamos fazendo o produto escalar entre e . Mas, como vimos, é perpendicular a , então esse produto escalar é zero. -
: Da mesma forma, o produto escalar entre e também é zero, já que é perpendicular a .
Passo 5
Então, substituindo na igualdade original:
Isso mostra que a igualdade é verdadeira.
Resposta
A igualdade
é sempre verdadeira, pois ambos os lados resultam em zero já que o produto escalar de um vetor com um vetor perpendicular a ele é igual a zero.