Quais das igualdades a seguir são sempre verdadeiras? Quais nem sempre são verdadeiras? Justifique sua resposta.
(u times v) cdot u=v cdot(u times v)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem a seguinte igualdade para analisar:
(u times v) cdot u = v cdot (u times v)
Aqui, estamos lidando com produto vetorial ( times) e produto escalar ( cdot) entre vetores. Para resolver, vamos precisar lembrar das propriedades dessas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o produto vetorial entre dois vetores u e v resulta em um novo vetor que é perpendicular a ambos. Ou seja:
u times v perp u e u times v perp v
Isso significa que o ângulo entre u times v e u (ou v) é de 90 graus.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores é dado por:
a cdot b = |a| , |b| cos(theta)
Onde theta é o ângulo entre os vetores a e b. Se os vetores forem perpendiculares, cos(90^circ) = 0, então o produto escalar será zero.

Passo 4

Aplicando isso à nossa igualdade:
  1. (u times v) cdot u: Aqui, estamos fazendo o produto escalar entre u times v e u. Mas, como vimos, u times v é perpendicular a u, então esse produto escalar é zero.
  2. v cdot (u times v): Da mesma forma, o produto escalar entre v e u times v também é zero, já que u times v é perpendicular a v.

Passo 5

Então, substituindo na igualdade original:
0 = 0
Isso mostra que a igualdade é verdadeira.

Resposta

A igualdade (u times v) cdot u = v cdot (u times v) é sempre verdadeira, pois ambos os lados resultam em zero já que o produto escalar de um vetor com um vetor perpendicular a ele é igual a zero.

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