Seja V=R^3 o espaço vetorial com as operações usuais. Determine os valores de k para que o conjunto S=(1,0,-1),(1,1,0),(k, 1,-1), seja:
LD.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os valores de k que fazem com que o conjunto S = (1,0,-1), (1,1,0), (k, 1,-1) seja linearmente dependente (LD). Estamos trabalhando com vetores no espaço R^3, e para resolver isso, vamos precisar entender o que significa linearmente dependente e como verificar isso usando determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente. Um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Em termos práticos, isso significa que existe uma relação não trivial entre os vetores, ou seja, há escalares diferentes de zero que, quando multiplicados pelos vetores e somados, dão o vetor zero.

Passo 3

Para verificar a dependência linear dos três vetores em R^3, podemos montar uma matriz onde cada vetor é uma coluna e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for zero, os vetores são linearmente dependentes; se for diferente de zero, são linearmente independentes.

Passo 4

Vamos montar a matriz com os vetores de S :
A = 1 & 1 & k 0 & 1 & 1 -1 & 0 & -1

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão de cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus:
det(A) = 1 cdot 1 cdot (-1) + 1 cdot 1 cdot (-1) + k cdot 0 cdot 0 - k cdot 1 cdot (-1) - 1 cdot 1 cdot (-1) - 1 cdot 0 cdot 0
Simplificando:
det(A) = (-1) + (-1) + 0 - (-k) - (-1) - 0 = -2 + k + 1 = k - 1

Passo 6

Para que os vetores sejam linearmente dependentes, o determinante deve ser igual a zero:
k - 1 = 0

Passo 7

Resolvendo a equação acima:
k = 1

Resposta

O conjunto S é linearmente dependente quando k = 1 .

Exercícios relacionados