Questão 28: Para cada um dos espaços vetoriais abaixo, com operações usuais, descreva o vetor nulo.
\mathbb{P}_{3}

Passo 1

O enunciado pede: para o espaço vetorial dado, com as operações usuais, descrever o vetor nulo.
Informações fornecidas:
  • O espaço vetorial é \mathbb{P}_{3}.
  • As operações são as usuais sobre polinômios (adição termo a termo e multiplicação por escalar).
    O que precisa ser entregue: identificar qual polinômio em \mathbb{P}_{3} desempenha o papel do vetor nulo (identidade aditiva).

Passo 2

O que significa “vetor nulo” num espaço vetorial?
Por definição, o vetor nulo (também chamado identidade aditiva) é o elemento 0_V do espaço tal que, para qualquer vetor v do espaço, vale
v + 0_V = v.
Essa propriedade deve ocorrer para todo v. Em palavras simples: somar o vetor nulo a qualquer vetor não altera esse vetor.

Passo 3

Especificando \mathbb{P}_{3}: é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 3 com coeficientes no corpo (normalmente \mathbb{R}). Então um elemento genérico de \mathbb{P}_{3} tem a forma
p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3},
onde a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}\in\mathbb{R}. A adição de polinômios é feita componente a componente dos coeficientes:
(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3})+(b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+b_{3}x^{3}) = (a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})x+(a_{2}+b_{2})x^{2}+(a_{3}+b_{3})x^{3}.

Passo 4

Procuramos um polinômio z(x)\in\mathbb{P}_{3} tal que, para todo p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3},
p(x)+z(x)=p(x).
Pela regra da adição termo a termo, isso exige que os coeficientes de z(x) sejam todos zeros. Portanto o candidato é
z(x)=0+0x+0x^{2}+0x^{3},
que normalmente escrevemos apenas como 0 (o polinômio zero).

Passo 5

Verificação explícita com um polinômio genérico: seja p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}. Então
p(x)+0 = (a_{0}+0)+(a_{1}+0)x+(a_{2}+0)x^{2}+(a_{3}+0)x^{3} = a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}=p(x),
logo 0 satisfaz a propriedade de identidade aditiva.

Passo 6

Breve prova de unicidade (útil para provas e para a prova): se existisse outro polinômio z'(x) com p(x)+z'(x)=p(x) para todo p, então em particular, tomando p(x)=0,
0+z'(x)=0 \quad\Rightarrow\quad z'(x)=0.
Portanto o vetor nulo é único e é o polinômio zero.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar (sem usar notação pesada): para p(x)=2+3x-x^{2}+7x^{3},
p(x)+0 = 2+3x-x^{2}+7x^{3},
ou seja, soma com o polinômio zero não altera p(x). Isso é exatamente o que se espera de um vetor nulo.

Resposta

0+0x+0x^{2}+0x^{3} (o polinômio zero, geralmente escrito apenas 0).

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