Questão 28: Para cada um dos espaços vetoriais abaixo, com operações usuais, descreva o vetor nulo.
Passo 1
O enunciado pede: para o espaço vetorial dado, com as operações usuais, descrever o vetor nulo.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- O espaço vetorial é
. - As operações são as usuais sobre polinômios (adição termo a termo e multiplicação por escalar).
O que precisa ser entregue: identificar qual polinômio emdesempenha o papel do vetor nulo (identidade aditiva).
Passo 2
O que significa “vetor nulo” num espaço vetorial?
Por definição, o vetor nulo (também chamado identidade aditiva) é o elemento do espaço tal que, para qualquer vetor
do espaço, vale
Por definição, o vetor nulo (também chamado identidade aditiva) é o elemento
Essa propriedade deve ocorrer para todo
. Em palavras simples: somar o vetor nulo a qualquer vetor não altera esse vetor.
Passo 3
Especificando
: é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a
com coeficientes no corpo (normalmente
). Então um elemento genérico de
tem a forma
onde
. A adição de polinômios é feita componente a componente dos coeficientes:
Passo 4
Procuramos um polinômio
tal que, para todo
,
Pela regra da adição termo a termo, isso exige que os coeficientes de
sejam todos zeros. Portanto o candidato é
que normalmente escrevemos apenas como
(o polinômio zero).
Passo 5
Verificação explícita com um polinômio genérico: seja
. Então
logo
satisfaz a propriedade de identidade aditiva.
Passo 6
Breve prova de unicidade (útil para provas e para a prova): se existisse outro polinômio
com
para todo
, então em particular, tomando
,
Portanto o vetor nulo é único e é o polinômio zero.
Passo 7
Exemplo numérico rápido para fixar (sem usar notação pesada): para
,
ou seja, soma com o polinômio zero não altera
. Isso é exatamente o que se espera de um vetor nulo.