( 2,0 \mathrm{pts} ) Dados a, b e \in \mathrm{e} \mathbb{R}, prove que
|a-b|<\epsilon \Longrightarrow|b|-\epsilon<|a|<|b|+\epsilon
Conclua que |a-b|<\epsilon \Longrightarrow a<|b|+\epsilon.

Passo 1

O enunciado dá que a,b\in\mathbb{R} e pede para provar a implicação
|a-b|<\epsilon \Longrightarrow |b|-\epsilon<|a|<|b|+\epsilon.
Em seguida, pedir para concluir que
|a-b|<\epsilon \Longrightarrow a<|b|+\epsilon.
As informações relevantes que temos são apenas os números reais a e b e um número positivo \epsilon>0 que aparece na hipótese |a-b|<\epsilon.

Passo 2

Vou usar uma propriedade fundamental do valor absoluto: a desigualdade triangular. Ela diz que, para quaisquer x,y\in\mathbb{R},
|x+y|\le |x|+|y|.
Explicando por que isso vale (uma mini-aula): considere |x+y|^2. Temos
|x+y|^2 = (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2.
Por outro lado,
(|x|+|y|)^2 = x^2+2|x||y|+y^2.
Como |x||y|\ge xy (porque |x||y| é sempre não negativo e maior ou igual a xy quando xy é positivo, e se xy é negativo então |x||y|>-xy>xy), segue que
(|x|+|y|)^2 \ge |x+y|^2.
Tomando raízes não-negativas dos dois lados obtém-se |x+y|\le |x|+|y|. Pronto: a desigualdade triangular está justificada.

Passo 3

Aplicando a desigualdade triangular com x=a-b e y=b (note que x+y=(a-b)+b=a), obtemos
|a| = |(a-b)+b| \le |a-b| + |b|.
Isto implica, subtraindo |b| de ambos os lados,
|a| - |b| \le |a-b|.
Agora trocando a por b e b por a (ou seja, aplicando a desigualdade triangular a b=(b-a)+a) obtém-se simetricamente
|b| - |a| \le |a-b|.
Juntando as duas desigualdades temos
-|a-b| \le |a| - |b| \le |a-b|.
Isto é a forma equivalente
\bigl|\,|a|-|b|\,\bigr| \le |a-b|.

Passo 4

Agora use a hipótese |a-b|<\epsilon. Da desigualdade do passo anterior segue
\bigl|\,|a|-|b|\,\bigr| < \epsilon.
Isto significa, por definição do valor absoluto, que
-\epsilon < |a| - |b| < \epsilon.
Somando |b| a todos os membros da desigualdade obtemos exatamente
|b| - \epsilon < |a| < |b| + \epsilon,
que é a primeira conclusão pedida.

Passo 5

Para concluir que a < |b|+\epsilon usamos a relação óbvia entre a e |a|: para todo a\in\mathbb{R} vale a \le |a| (se a\ge0 então |a|=a; se a<0 então |a|=-a>a). Como já mostramos que |a|<|b|+\epsilon, tem-se
a \le |a| < |b| + \epsilon,
daí segue
a < |b| + \epsilon,
que é a segunda conclusão pedida.

Resposta

|b|-\epsilon<|a|<|b|+\epsilon
a<|b|+\epsilon

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