Determine bases e a dimensão para cada um dos subespaços
e
nos casos abaixo:
e
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos os subespaços F₁ e F₂ de
definidos por
e por
, respectivamente. O objetivo é encontrar bases e dimensões de
,
,
e
. Vamos usar parametrização por variáveis livres e a fórmula de dimensão.
Passo 2
Para achar uma base de
, impomos
e tomamos as variáveis livres
,
,
. Assim,
Logo, uma base de
é
e
.
Passo 3
Para achar uma base de
, impomos
e tomamos
,
,
livres. Então
Portanto, uma base de
é
e
.
Passo 4
Para
impomos simultaneamente
e
. As variáveis livres são
e
, o que dá
Logo, base de
é
e
.
Passo 5
Para
usamos a fórmula
Como
em
, temos
.
Passo 6
Uma base natural para
é a base canônica
.
Resposta
F_1: base = {(1,0,1,0),,(0,1,0,0),,(0,0,0,1)}, dim = 3
F_2: base = {(1,0,0,0),,(0,0,1,0),,(0,0,0,1)}, dim = 3
F_1\cap F_2: base = {(1,0,1,0),,(0,0,0,1)}, dim = 2
F_1+F_2: base = {(1,0,0,0),,(0,1,0,0),,(0,0,1,0),,(0,0,0,1)}, dim = 4
F_2: base = {(1,0,0,0),,(0,0,1,0),,(0,0,0,1)}, dim = 3
F_1\cap F_2: base = {(1,0,1,0),,(0,0,0,1)}, dim = 2
F_1+F_2: base = {(1,0,0,0),,(0,1,0,0),,(0,0,1,0),,(0,0,0,1)}, dim = 4