Determine bases e a dimensão para cada um dos subespaços e nos casos abaixo:
e

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos os subespaços F₁ e F₂ de R^4 definidos por x1=x3 e por x2=0, respectivamente. O objetivo é encontrar bases e dimensões de F1, F2, F1cap F2 e F1+F2. Vamos usar parametrização por variáveis livres e a fórmula de dimensão.

Passo 2

Para achar uma base de F1=(x1,x2,x3,x4):x1=x3, impomos x1=x3 e tomamos as variáveis livres x2=t, x3=s, x4=u. Assim,
(x1,x2,x3,x4)=(s,t,s,u)=s(1,0,1,0)+t(0,1,0,0)+u(0,0,0,1)
Logo, uma base de F1 é (1,0,1,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1) e dim F1=3.

Passo 3

Para achar uma base de F2=(x1,x2,x3,x4):x2=0, impomos x2=0 e tomamos x1=s, x3=t, x4=u livres. Então
(x1,x2,x3,x4)=(s,0,t,u)=s(1,0,0,0)+t(0,0,1,0)+u(0,0,0,1)
Portanto, uma base de F2 é (1,0,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1) e dim F2=3.

Passo 4

Para F1cap F2 impomos simultaneamente x1=x3 e x2=0. As variáveis livres são x3=s e x4=u, o que dá
(x1,x2,x3,x4)=(s,0,s,u)=s(1,0,1,0)+u(0,0,0,1)
Logo, base de F1cap F2 é (1,0,1,0),(0,0,0,1) e dim(F1cap F2)=2.

Passo 5

Para F1+F2 usamos a fórmula
dim(F1+F2)=dim F1+dim F2-dim(F1cap F2)=3+3-2=4
Como dim(F1+F2)=4 em R^4, temos F1+F2=R^4.

Passo 6

Uma base natural para F1+F2=R^4 é a base canônica (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1).

Resposta

F_1: base = {(1,0,1,0),,(0,1,0,0),,(0,0,0,1)}, dim = 3
F_2: base = {(1,0,0,0),,(0,0,1,0),,(0,0,0,1)}, dim = 3
F_1\cap F_2: base = {(1,0,1,0),,(0,0,0,1)}, dim = 2
F_1+F_2: base = {(1,0,0,0),,(0,1,0,0),,(0,0,1,0),,(0,0,0,1)}, dim = 4

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