Identifique e esboce cada uma das seguintes quádricas de mathbbE^3 :
x^2-3 y^2+8 z^2=1

Passo 1

Temos a quádrica
x^2 - 3y^2 + 8z^2 = 1
O conteúdo é classificação de superfícies quádricas em E^3. Vamos identificar a forma canônica, analisar os sinais dos coeficientes e esboçar a superfície.

Passo 2

Para colocar em forma canônica, dividimos cada termo pelo lado direito (1). Assim obtemos
x^21 - y^21/3 + z^21/8 = 1
Identificamos a^2 = 1, b^2 = 13 e c^2 = 18.

Passo 3

Observando os sinais, temos dois termos com sinal positivo ( x^2, z^2) e um termo com sinal negativo ( y^2). Pela teoria de quádricas, isso caracteriza um hiperbolóide de uma folha.

Passo 4

Analisamos seções transversais para entender o formato:
Para y = 0:
x^2 + 8z^2 = 1
o que é uma elipse.
Para x = 0:
8z^2 - 3y^2 = 1
o que é uma hipérbole no plano yz.
Para z = 0:
x^2 - 3y^2 = 1
o que é uma hipérbole no plano xy.

Passo 5

Com base nisso, esboçamos um hiperbolóide de uma folha, superfície conectada, centrada na origem, com eixo principal ao longo do eixo y. As elipses aparecem ao cortar com planos y = constante e as hipérboles nos cortes x = constante ou z = constante.

Resposta

Hiperbolóide de uma folha, centrado na origem, com eixo principal ao longo do eixo y.

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