Determine bases e a dimensão para cada um dos subespaços
e
nos casos abaixo:
e
Passo 1
Vamos recapitular o problema: precisamos achar bases e dimensões dos subespaços em ℝ³ dados por
F₁={ (x₁,x₂,x₃) : x₁−2x₂+4x₃=0 } e
F₂={ (x₁,x₂,x₃) : x₁+x₃=0 },em de F₁∩F₂ e F₁+F₂.
O que vamos usar é a representação paramétrica de cada subespaço, resolver o sistema linear para a interseção e usar a fórmula dim(F₁+F₂)=dimF₁+dimF₂−dim(F₁∩F₂).
F₁={ (x₁,x₂,x₃) : x₁−2x₂+4x₃=0 } e
F₂={ (x₁,x₂,x₃) : x₁+x₃=0 },em de F₁∩F₂ e F₁+F₂.
O que vamos usar é a representação paramétrica de cada subespaço, resolver o sistema linear para a interseção e usar a fórmula dim(F₁+F₂)=dimF₁+dimF₂−dim(F₁∩F₂).
Passo 2
Para F₁, impomos x₁−2x₂+4x₃=0. Deixo x₂=s e x₃=t livres. Então
x₁=2s−4t,
portanto
x₁=2s−4t,
portanto
Logo uma base de F₁ é {(2,1,0),(-4,0,1)} e dim F₁=2.
Passo 3
Para F₂, impomos x₁+x₃=0. Deixo x₂=u e x₃=v livres. Então
x₁=−v,
logo
x₁=−v,
logo
Assim uma base de F₂ é {(0,1,0),(-1,0,1)} e dim F₂=2.
Passo 4
Para F₁∩F₂, resolvemos simultaneamente
x₁−2x₂+4x₃=0
e
x₁+x₃=0 ⇒ x₁=−x₃.
Substituindo na primeira:
−x₃−2x₂+4x₃=0 ⇒ 3x₃−2x₂=0 ⇒ x₂=(3/2)x₃.
Tomando x₃=t, temos
(x₁,x₂,x₃)=t·(−1,3/2,1)=t·(−2,3,2)/2,
então podemos escolher como base {(−2,3,2)}. Logo dim (F₁∩F₂)=1.
x₁−2x₂+4x₃=0
e
x₁+x₃=0 ⇒ x₁=−x₃.
Substituindo na primeira:
−x₃−2x₂+4x₃=0 ⇒ 3x₃−2x₂=0 ⇒ x₂=(3/2)x₃.
Tomando x₃=t, temos
(x₁,x₂,x₃)=t·(−1,3/2,1)=t·(−2,3,2)/2,
então podemos escolher como base {(−2,3,2)}. Logo dim (F₁∩F₂)=1.
Passo 5
Para F₁+F₂ usamos dim(F₁+F₂)=dim F₁+dim F₂−dim (F₁∩F₂)=2+2−1=3. Como é de dimensão 3 em ℝ³, F₁+F₂=ℝ³. Uma base pode ser obtida pegando 3 vetores independentes da união das bases acima. Por exemplo, {(2,1,0),(-4,0,1),(0,1,0)} forma base de F₁+F₂ e dim (F₁+F₂)=3.
Resposta
Bases e dimensões:
F₁: base={(2,1,0),(-4,0,1)}, dim=2;
F₂: base={(0,1,0),(-1,0,1)}, dim=2;
F₁∩F₂: base={(−2,3,2)}, dim=1;
F₁+F₂: base e.g. {(2,1,0),(-4,0,1),(0,1,0)}, dim=3 (logo F₁+F₂=ℝ³).
F₁: base={(2,1,0),(-4,0,1)}, dim=2;
F₂: base={(0,1,0),(-1,0,1)}, dim=2;
F₁∩F₂: base={(−2,3,2)}, dim=1;
F₁+F₂: base e.g. {(2,1,0),(-4,0,1),(0,1,0)}, dim=3 (logo F₁+F₂=ℝ³).