Determine as equações vetorial, paramétricas e simétricas (quando possível) da reta r que passa pelo ponto e paralela ao vetor indicados.
B=(12, 1,-1) e v=(32,-2,1);

Passo 1

O enunciado pede as equações de uma reta em R^3 que passa pelo ponto B=(tfrac12,1,-1) e tem direção dada pelo vetor vec v=(tfrac32,-2,1). O conteúdo é reta no espaço, e vamos usar definições de: equação vetorial, decompô-la em paramétricas e, se possível, em simétricas.

Passo 2

Para montar a equação vetorial usamos o ponto B como posição inicial e o vetor vec v como direção. Assim, qualquer ponto P da reta pode ser escrito como BP=t,vec v. Colocando na forma de reta centrada em B obtemos:
vec r(t)=xyz=tfrac121-1+ttfrac32-21, tin R

Passo 3

A partir da equação vetorial extraímos as equações paramétricas separando as componentes em função de t:
x=tfrac12+tfrac32,t, y=1-2t, z=-1+1,t

Passo 4

Para chegar às equações simétricas isolamos t em cada uma das paramétricas. Da primeira temos t=x-tfrac12tfrac32, da segunda t=y-1-2 e da terceira t=z+11. Como todas as componentes de vec v são diferentes de zero, podemos igualar essas frações:
x-tfrac12tfrac32=y-1-2=z+11

Resposta

Equação vetorial:
vec r(t)=tfrac121-1+ttfrac32-21, tin R
Equações paramétricas:
x=tfrac12+tfrac32,t, y=1-2t, z=-1+t
Equações simétricas:
x-tfrac12tfrac32=y-1-2=z+11

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