Determine bases e a dimensão para cada um dos subespaços e nos casos abaixo:

Passo 1

O enunciado pede para encontrar bases e dimensões dos subespaços F₁, F₂, F₁ ∩ F₂ e F₁ + F₂ em ℝ⁴. Vamos usar conceitos de subespaço gerado, interseção e soma de subespaços.

Passo 2

F₁ é gerado pelos vetores (1,0,1,0) e (0,1,0,1). Esses dois vetores são linearmente independentes porque não há escalares a e b (não nulos simultaneamente) tais que a(1,0,1,0) + b(0,1,0,1) = (0,0,0,0). Logo, uma base de F₁ é {(1,0,1,0), (0,1,0,1)} e dim F₁ = 2.

Passo 3

F₂ é o conjunto de todos os vetores (x₁,x₂,x₃,x₄) com x₁ = x₂ = 0, ou seja, F₂ = {(0,0,x₃,x₄)}. Ele é gerado pelos vetores (0,0,1,0) e (0,0,0,1), que são independentes. Portanto, uma base de F₂ é {(0,0,1,0), (0,0,0,1)} e dim F₂ = 2.

Passo 4

Para F₁ ∩ F₂ tomamos um vetor genérico de F₁: (a,b,a,b). Impor x₁ = x₂ = 0 dá a = 0 e b = 0. Só resta o vetor zero. Assim, F₁ ∩ F₂ = {0}, sua base é o conjunto vazio e dim (F₁ ∩ F₂) = 0.

Passo 5

Para F₁ + F₂ usamos a união das bases: {(1,0,1,0), (0,1,0,1), (0,0,1,0), (0,0,0,1)}. Esses quatro vetores são linearmente independentes em ℝ⁴ (verificando coordenada a coordenada). Então formam uma base de F₁ + F₂ e dim (F₁ + F₂) = 4, logo F₁ + F₂ = ℝ⁴.

Resposta

F₁: base = {(1,0,1,0), (0,1,0,1)}, dim F₁ = 2
F₂: base = {(0,0,1,0), (0,0,0,1)}, dim F₂ = 2
F₁ ∩ F₂: base = ∅, dim = 0
F₁ + F₂: base = {(1,0,1,0), (0,1,0,1), (0,0,1,0), (0,0,0,1)}, dim = 4

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