Determine bases e a dimensão para cada um dos subespaços
e
nos casos abaixo:
Passo 1
O exercício pede bases e dimensões dos subespaços F₁, F₂, F₁∩F₂ e F₁+F₂ em ℝ⁵. Vamos usar dependência linear para achar bases reduzidas e as fórmulas de soma e interseção de subespaços.
Passo 2
Para F₁=S\bigl((1,2,0,0,1),(0,1,0,-1,-2),(3,11,0,-5,-7)\bigr) verificamos se o terceiro vetor é combinação dos dois primeiros. Procuramos a e b tais que
Das componentes obtemos a=3, b=5, logo o terceiro vetor é dependente. Assim uma base é {(1,2,0,0,1),(0,1,0,-1,-2)} e
.
Passo 3
Para F₂=S\bigl((1,1,1,1,1),(0,0,0,0,1)\bigr) os dois vetores não são múltiplos um do outro, então já são independentes. Logo uma base é {(1,1,1,1,1),(0,0,0,0,1)} e
.
Passo 4
Para encontrar F₁∩F₂ igualamos o vetor geral de F₁
ao vetor geral de F₂
pelas cinco componentes. Da terceira vem c=0; da primeira a=0; da segunda b=0; daí d=0. Só surge a solução trivial, então F₁∩F₂={0}, base vazia e
.
Passo 5
Para F₁+F₂ usamos a fórmula
. Como a interseção é trivial, a união das bases anteriores gera o direto soma. Uma base de F₁+F₂ é {(1,2,0,0,1),(0,1,0,-1,-2),(1,1,1,1,1),(0,0,0,0,1)} e
.
Resposta
F₁ tem base {(1,2,0,0,1),(0,1,0,-1,-2)}, dim=2; F₂ tem base {(1,1,1,1,1),(0,0,0,0,1)}, dim=2; F₁∩F₂ tem base vazia, dim=0; F₁+F₂ tem base {(1,2,0,0,1),(0,1,0,-1,-2),(1,1,1,1,1),(0,0,0,0,1)}, dim=4.