Determine bases e a dimensão para cada um dos subespaços e nos casos abaixo:

Passo 1

O exercício pede bases e dimensões dos subespaços F₁, F₂, F₁∩F₂ e F₁+F₂ em ℝ⁵. Vamos usar dependência linear para achar bases reduzidas e as fórmulas de soma e interseção de subespaços.

Passo 2

Para F₁=S\bigl((1,2,0,0,1),(0,1,0,-1,-2),(3,11,0,-5,-7)\bigr) verificamos se o terceiro vetor é combinação dos dois primeiros. Procuramos a e b tais que
a(1,2,0,0,1)+b(0,1,0,-1,-2)=(3,11,0,-5,-7)
Das componentes obtemos a=3, b=5, logo o terceiro vetor é dependente. Assim uma base é {(1,2,0,0,1),(0,1,0,-1,-2)} e dim(F₁)=2.

Passo 3

Para F₂=S\bigl((1,1,1,1,1),(0,0,0,0,1)\bigr) os dois vetores não são múltiplos um do outro, então já são independentes. Logo uma base é {(1,1,1,1,1),(0,0,0,0,1)} e dim(F₂)=2.

Passo 4

Para encontrar F₁∩F₂ igualamos o vetor geral de F₁
(a,2a+b,0,-b,a-2b)
ao vetor geral de F₂
(c,c,c,c,c+d)
pelas cinco componentes. Da terceira vem c=0; da primeira a=0; da segunda b=0; daí d=0. Só surge a solução trivial, então F₁∩F₂={0}, base vazia e dim(F₁cap F₂)=0.

Passo 5

Para F₁+F₂ usamos a fórmula dim(F₁+F₂)=dim(F₁)+dim(F₂)-dim(F₁cap F₂)=2+2-0=4. Como a interseção é trivial, a união das bases anteriores gera o direto soma. Uma base de F₁+F₂ é {(1,2,0,0,1),(0,1,0,-1,-2),(1,1,1,1,1),(0,0,0,0,1)} e dim(F₁+F₂)=4.

Resposta

F₁ tem base {(1,2,0,0,1),(0,1,0,-1,-2)}, dim=2; F₂ tem base {(1,1,1,1,1),(0,0,0,0,1)}, dim=2; F₁∩F₂ tem base vazia, dim=0; F₁+F₂ tem base {(1,2,0,0,1),(0,1,0,-1,-2),(1,1,1,1,1),(0,0,0,0,1)}, dim=4.

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