Determine bases para o núcleo e a imagem em cada uma das transformações lineares a seguir.
T: R^3 longrightarrow R^3, T(x, y, z=(x+y+z, 2 x+2 y+2 z, y-z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as bases do núcleo e da imagem de uma transformação linear T que vai de ℝ³ para ℝ³. A transformação é dada por:
T(x, y, z) = (x + y + z, 2x + 2y + 2z, y - z)
Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como encontrar o núcleo (os vetores que T manda para o zero) e a imagem (os vetores que são alcançados por T).

Passo 2

Primeiro, vamos achar o núcleo de T, que é o conjunto de todos os vetores (x, y, z) em ℝ³ que satisfazem T(x, y, z) = (0, 0, 0) . Isso significa resolver o sistema de equações:
x + y + z = 0 2x + 2y + 2z = 0 y - z = 0

Passo 3

Observando o segundo equação, vemos que é apenas o dobro da primeira, então na verdade temos duas equações distintas:
x + y + z = 0 y - z = 0
Vamos resolver esse sistema para encontrar as relações entre x, y e z.

Passo 4

Da segunda equação y - z = 0 , temos que y = z . Substituindo isso na primeira equação:
x + y + y = 0 Rightarrow x + 2y = 0 Rightarrow x = -2y
Então, expressamos x e z em termos de y.

Passo 5

Podemos escrever o vetor (x, y, z) em função de y:
(x, y, z) = (-2y, y, y) = y cdot (-2, 1, 1)
Isso mostra que todo vetor no núcleo é múltiplo de (-2, 1, 1) .

Passo 6

Então, uma base para o núcleo de T é o conjunto que contém apenas o vetor (-2, 1, 1) :
Base do núc<=o = , (-2, 1, 1) , ú

Passo 7

Agora, vamos encontrar a imagem de T, que é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como T(x, y, z) . Para isso, observamos as componentes de T:
T(x, y, z) = (x + y + z, 2x + 2y + 2z, y - z)
Podemos representar a transformação como uma matriz:
A = 1 & 1 & 1 2 & 2 & 2 0 & 1 & -1

Passo 8

Para encontrar a imagem, precisamos determinar as colunas que formam um sistema linearmente independente. Vamos colocar a matriz A em forma escalonada:
1 & 1 & 1 2 & 2 & 2 0 & 1 & -1 longrightarrow 1 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & 1 & -1
A segunda linha se tornou zero porque era múltipla da primeira.

Passo 9

As colunas com pivôs são a primeira e a segunda. Então, os vetores correspondentes a essas colunas na matriz original formam a base da imagem:
Base da ima>=m = , (1, 2, 0), (1, 2, 1) ,

Resposta

A base do núcleo de T é , (-2, 1, 1) , e a base da imagem de T é , (1, 2, 0), (1, 2, 1) , .

Exercícios relacionados