Determine bases para o núcleo e a imagem em cada uma das transformações lineares a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar bases para o núcleo e a imagem de uma transformação linear específica. Estamos lidando com transformações lineares em , então vamos precisar entender o que são núcleo e imagem nesse contexto e como determinar suas bases.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o núcleo da transformação linear [T). O núcleo de é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, queremos encontrar todos os que satisfazem:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Somando as duas equações:
Substituindo (x = 0] na primeira equação:
Então, a única solução é e . Isso significa que o núcleo de é apenas o vetor zero:
Como o núcleo só contém o vetor zero, ele é trivial e sua base é o conjunto vazio.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem de [T). A imagem de é o conjunto de todos os vetores resultantes da aplicação de em . Ou seja, queremos todos os vetores .
Para encontrar uma base para a imagem, podemos representar a transformação linear por uma matriz e encontrar a base do espaço gerado por suas colunas. A matriz de é:
As colunas de são e . Vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Se eles forem, então formam uma base para a imagem.
Para isso, consideramos a equação:
Isso resulta no sistema:
Somando as duas equações:
Substituindo em (a + b = 0]:
Como a única solução é e , os vetores são linearmente independentes. Portanto, eles formam uma base para a imagem de .
Resposta
Base do núcleo de T:varnothing (o núcleo contém apenas o vetor zero)