Suponha que
e
são vetores em um espaço vetorial e sejam
e
.
Mostre que
Mostre que
Passo 1
O enunciado diz que temos vetores
e
em um espaço vetorial
. Definimos
ou seja,
e
são os subespaços gerados por esses vetores. Queremos mostrar que a soma de subespaços
é exatamente o subespaço gerado pela união dos geradores, isto é
Passo 2
Provar
.
Seja . Então existem
e
tais que
. Como
, podemos escrever
Seja
e como
,
Somando,
que é uma combinação linear de
. Logo
pertence ao subespaço
.
Passo 3
Provar
.
Seja uma combinação linear qualquer de
e
:
Seja
Então
e
, de modo que
é soma de um vetor de
e um vetor de
. Logo
.
Passo 4
Juntando as duas inclusões dos Passos 2 e 3, concluímos