Suponha que u1, ldots, up e v1, ldots, vq são vetores em um espaço vetorial e sejam
H=Lu1, ldots, up e K=Lv1, ldots, vq.
Mostre que H+K=Lu1, ldots, up, v1, ldots, vq

Passo 1

O enunciado diz que temos vetores u1,dots,up e v1,dots,vq em um espaço vetorial V. Definimos
H = Lu1,dots,up, K = Lv1,dots,vq,
ou seja, H e K são os subespaços gerados por esses vetores. Queremos mostrar que a soma de subespaços
H + K = ,h + k : hin H,;kin K
é exatamente o subespaço gerado pela união dos geradores, isto é
H + K ;=;Lu1,dots,up,,v1,dots,vq

Passo 2

Provar H + K subset Lu1,dots,up,v1,dots,vq.
Seja xin H+K. Então existem hin H e kin K tais que x=h+k. Como hin H, podemos escrever
h = sumi=1^p ai,ui
e como kin K,
k = sumj=1^q bj,vj
Somando,
x = sumi=1^p ai,ui + sumj=1^q bj,vj,
que é uma combinação linear de u1,dots,up,v1,dots,vq. Logo x pertence ao subespaço Lui,vj.

Passo 3

Provar Lu1,dots,up,v1,dots,vqsubset H + K.
Seja y uma combinação linear qualquer de ui e vj:
y = sumi=1^p ai,ui + sumj=1^q bj,vj
Então sumi=1^p ai,uiin H e sumj=1^q bj,vjin K, de modo que y é soma de um vetor de H e um vetor de K. Logo yin H+K.

Passo 4

Juntando as duas inclusões dos Passos 2 e 3, concluímos
H + K = Lu1,dots,up,,v1,dots,vq

Resposta

H + K ;=;Lu1,dots,up,,v1,dots,vq

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