[M] Mostre que w está no subespaço de
gerado por
, no qual
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
w in spanv1,v2,v3
onde
onde
Para isso, vamos buscar escalares
alpha,beta,gamma tais que
o que leva a um sistema linear em
alpha,beta,gamma .
Passo 2
Escrevendo componente a componente, o sistema é
Passo 3
Eliminamos
beta entre a primeira e a segunda equações. Multiplicamos a primeira por 3 e a segunda por 4:
Somando as duas, vem
Denotemos essa relação por (A).
Passo 4
Eliminamos
beta entre a primeira e a terceira equações. Multiplicamos a primeira por 2 e a terceira por 4:
Subtraindo a segunda da primeira, obtemos
Denotemos essa relação por (B).
Passo 5
Subtraindo (A) de (B) para eliminar
gamma :
Substituindo em (A):
Passo 6
Para achar
beta , voltamos à primeira equação original:
Passo 7
Verificamos na quarta equação:
que coincide com o lado direito, mostrando consistência.
Passo 8
Concluímos que existem
alpha=1 ,
beta=-2 ,
gamma=1 tais que
logo
w pertence ao subespaço gerado.