[M] Mostre que w está no subespaço de R^4 gerado por v1, v2, v3, no qual
w=[r9 -4 -4 7], v1=[r8 -4 -3 9], v2=[r-4 3 -2 -8], v3=[r-7 6 -5 -18]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
w in spanv1,v2,v3
onde
w=9-4-47, v1=8-4-39, v2=-43-2-8, v3=-76-5-18
Para isso, vamos buscar escalares alpha,beta,gamma tais que
alpha,v1 + beta,v2 + gamma,v3 = w,
o que leva a um sistema linear em alpha,beta,gamma.

Passo 2

Escrevendo componente a componente, o sistema é
8alpha -4beta -7gamma = 9, -4alpha +3beta +6gamma = -4, -3alpha -2beta -5gamma = -4, 9alpha -8beta -18gamma = 7

Passo 3

Eliminamos beta entre a primeira e a segunda equações. Multiplicamos a primeira por 3 e a segunda por 4:
24alpha -12beta -21gamma = 27, -16alpha +12beta +24gamma = -16
Somando as duas, vem
8alpha + 3gamma = 11
Denotemos essa relação por (A).

Passo 4

Eliminamos beta entre a primeira e a terceira equações. Multiplicamos a primeira por 2 e a terceira por 4:
16alpha -8beta -14gamma = 18, -12alpha -8beta -20gamma = -16
Subtraindo a segunda da primeira, obtemos
14alpha + 3gamma = 17
Denotemos essa relação por (B).

Passo 5

Subtraindo (A) de (B) para eliminar gamma:
(14alpha +3gamma)-(8alpha +3gamma)=17-11 Longrightarrow 6alpha=6 Longrightarrow alpha=1
Substituindo em (A):
8cdot1 +3gamma =11 Longrightarrow 3gamma=3 Longrightarrow gamma=1

Passo 6

Para achar beta, voltamos à primeira equação original:
8cdot1 -4beta -7cdot1 = 9 Longrightarrow 1 -4beta =9 Longrightarrow -4beta=8 Longrightarrow beta=-2

Passo 7

Verificamos na quarta equação:
9cdot1 -8cdot(-2) -18cdot1 = 9 +16 -18 =7,
que coincide com o lado direito, mostrando consistência.

Passo 8

Concluímos que existem alpha=1, beta=-2, gamma=1 tais que
alpha,v1 + beta,v2 + gamma,v3 = w,
logo w pertence ao subespaço gerado.

Resposta

w = v1 ;-;2,v2 ;+;v3.

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