Suponha que
para algum escalar não nulo
. Mostre que
. Indique os axiomas e propriedades que você usar.
Passo 1
No espaço vetorial
sobre um corpo
temos um escalar
e um vetor
tais que
Queremos provar que
. Para isso usaremos:
- Axioma de corpo (existência de inverso multiplicativo para escalares não nulos).
- Axioma de espaço vetorial (associatividade da multiplicação escalar).
- Axioma de espaço vetorial (identidade escalar
). - Propriedade de que qualquer escalar vezes o vetor zero é o vetor zero.
Passo 2
Como
no corpo
, existe o inverso multiplicativo
tal que
Passo 3
Multiplicamos a igualdade
pela esquerda por
e aplicamos a associatividade da multiplicação escalar:
Passo 4
Pelo axioma de corpo e pelo axioma de identidade escalar temos
E, como qualquer escalar multiplicado pelo vetor zero produz o vetor zero,
Logo concluímos