Suponha que c v=0 para algum escalar não nulo c. Mostre que v=0. Indique os axiomas e propriedades que você usar.

Passo 1

No espaço vetorial V sobre um corpo F temos um escalar cneq0 e um vetor v tais que
c,v=0
Queremos provar que v=0. Para isso usaremos:
  • Axioma de corpo (existência de inverso multiplicativo para escalares não nulos).
  • Axioma de espaço vetorial (associatividade da multiplicação escalar).
  • Axioma de espaço vetorial (identidade escalar 1cdotv=v).
  • Propriedade de que qualquer escalar vezes o vetor zero é o vetor zero.

Passo 2

Como cneq0 no corpo F, existe o inverso multiplicativo c^-1in F tal que
c^-1c = 1

Passo 3

Multiplicamos a igualdade c,v=0 pela esquerda por c^-1 e aplicamos a associatividade da multiplicação escalar:
c^-1(c,v) = c^-10 Longrightarrow (c^-1c),v = c^-10

Passo 4

Pelo axioma de corpo e pelo axioma de identidade escalar temos
(c^-1c),v = 1,v = v
E, como qualquer escalar multiplicado pelo vetor zero produz o vetor zero,
c^-10 = 0
Logo concluímos
v = 0

Resposta

v=0

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