Sejam
e
vetores de um espaço vetorial
e seja
qualquer subespaço de
que contém
e
. Explique por que
também contém
. Isso mostra que
é o menor subespaço de
que contém tanto
quanto
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é um subespaço de
que contém os vetores
e
, então ele contém também o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores, ou seja
. O conteúdo usado aqui é a definição de subespaço (fechamento sob soma e escalar) e a definição de span (combinações lineares).
Passo 2
Por definição,
Tomemos um vetor arbitrário
desse conjunto.
Passo 3
Como
é subespaço e contém
, da clausura sob escalar segue
Do mesmo modo,
implica
Finalmente, pela clausura sob soma em subespaços temos
Passo 4
Visto que
era um vetor genérico de
, concluímos
Isso vale para todo subespaço
que contenha
e
, logo
é o menor (em inclusão) subespaço de
com essa propriedade.
Resposta
Como qualquer subespaço
que contém
e
também contém todas as combinações lineares
, temos
. Portanto,
é o menor subespaço de
contendo
e
.