Sejam u e v vetores de um espaço vetorial V e seja H qualquer subespaço de V que contém u e v. Explique por que H também contém Lu, v. Isso mostra que Lu, v é o menor subespaço de V que contém tanto u quanto v.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se H é um subespaço de V que contém os vetores u e v, então ele contém também o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores, ou seja Lu,v. O conteúdo usado aqui é a definição de subespaço (fechamento sob soma e escalar) e a definição de span (combinações lineares).

Passo 2

Por definição,
Lu,v =,a,u+b,vmid a,bin F
Tomemos um vetor arbitrário
w=a,u+b,v desse conjunto.

Passo 3

Como H é subespaço e contém u, da clausura sob escalar segue
a,uin H
Do mesmo modo, vin H implica
b,vin H
Finalmente, pela clausura sob soma em subespaços temos
w=a,u+b,vin H

Passo 4

Visto que w era um vetor genérico de Lu,v, concluímos
Lu,vsubseteq H
Isso vale para todo subespaço H que contenha u e v, logo Lu,v é o menor (em inclusão) subespaço de V com essa propriedade.

Resposta

Como qualquer subespaço H que contém u e v também contém todas as combinações lineares a,u+b,v, temos Lu,vsubseteq H. Portanto, Lu,v é o menor subespaço de V contendo u e v.

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