Determine bases ortonormais para
para as matrizes
abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar bases ortonormais para os subespaços ∖kerA∖, ∖kerAᵀ∖, ∖ImA∖ e ∖ImAᵀ∖ da matriz A. O conteúdo envolve definições de núcleo (kernel) e imagem (column space) de uma transformação linear e o processo de normalização de vetores para obter bases ortonormais.
Passo 2
Para achar ∖kerA∖, resolvemos A x=0. Isso dá o sistema
Da segunda equação vem x_2=−x_1, logo
[
ker,A={(x_1,−x_1):x_1\inℝ}=span{(1,−1)}.
ker,A={(x_1,−x_1):x_1\inℝ}=span{(1,−1)}.
Passo 3
Para obter uma base ortonormal de ker A, normalizamos o vetor (1,−1). Sua norma é
Assim uma base ortonormal é
Passo 4
Para achar ∖kerAᵀ∖, escrevemos Aᵀ=[0 1;0 1] e resolvemos Aᵀx=0. O sistema é
Então x_2=0 e
Passo 5
O vetor (1,0) já tem norma 1, logo uma base ortonormal de ker Aᵀ é
Passo 6
Para ∖ImA∖, usamos as colunas de A: c_1=(0,1) e c_2=(0,1). Essas colunas são dependentes e geram o mesmo vetor, então
Passo 7
Como (0,1) já tem norma 1, a base ortonormal de Im A é
Passo 8
Para ∖ImAᵀ∖, as colunas de Aᵀ são d_1=(0,0) e d_2=(1,1). O vetor não trivial é (1,1), então
Passo 9
Normalizando (1,1), cuja norma é √2, obtemos a base ortonormal
Resposta
As bases ortonormais são: ker,A: {
}; ker,Aᵀ: {(1,0)}; Im,A: {(0,1)}; Im,Aᵀ: {
}.