Determine bases ortonormais para ker A, ker A^t, Im A e Im A^t para as matrizes A abaixo:
ll0 & 0 1 & 1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar bases ortonormais para os subespaços ∖ker⁡A∖, ∖ker⁡Aᵀ∖, ∖Im⁡A∖ e ∖Im⁡Aᵀ∖ da matriz A. O conteúdo envolve definições de núcleo (kernel) e imagem (column space) de uma transformação linear e o processo de normalização de vetores para obter bases ortonormais.

Passo 2

Para achar ∖ker⁡A∖, resolvemos A x=0. Isso dá o sistema
0·x1+0·x2=0 1·x1+1·x2=0
Da segunda equação vem x_2=−x_1, logo
[
ker,A={(x_1,−x_1):x_1\inℝ}=span{(1,−1)}.

Passo 3

Para obter uma base ortonormal de ker A, normalizamos o vetor (1,−1). Sua norma é
|(1,−1)|=raiz1^2+(-1)^2=raiz2
Assim uma base ortonormal é
(tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2)

Passo 4

Para achar ∖ker⁡Aᵀ∖, escrevemos Aᵀ=[0 1;0 1] e resolvemos Aᵀx=0. O sistema é
0·x1+1·x2=0 0·x1+1·x2=0
Então x_2=0 e
ker,A^T=span(1,0)

Passo 5

O vetor (1,0) já tem norma 1, logo uma base ortonormal de ker Aᵀ é
(1,0)

Passo 6

Para ∖Im⁡A∖, usamos as colunas de A: c_1=(0,1) e c_2=(0,1). Essas colunas são dependentes e geram o mesmo vetor, então
Im,A=span(0,1)

Passo 7

Como (0,1) já tem norma 1, a base ortonormal de Im A é
(0,1)

Passo 8

Para ∖Im⁡Aᵀ∖, as colunas de Aᵀ são d_1=(0,0) e d_2=(1,1). O vetor não trivial é (1,1), então
Im,A^T=span(1,1)

Passo 9

Normalizando (1,1), cuja norma é √2, obtemos a base ortonormal
(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2)

Resposta

As bases ortonormais são: ker,A: { (1/raiz2,-1/raiz2)}; ker,Aᵀ: {(1,0)}; Im,A: {(0,1)}; Im,Aᵀ: { (1/raiz2,1/raiz2)}.

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