Encontre a forma diagonal das TLs na base canônica representadas pelas seguintes matrizes:
ll0 & 1 6 & 1

Passo 1

O enunciado pede pra diagonalizar a transformação linear dada pela matriz A = 0 & 16 & 1 na base canônica, ou seja, encontrar uma base de autovetores e a matriz diagonal D tal que A = P D P^-1. Vamos precisar calcular o polinômio característico, os autovalores e os autovetores de A.

Passo 2

Primeiro encontramos o polinômio característico de A. Temos:
chiA(lambda)=det(A-lambda I)=det-lambda & 16 & 1-lambda =(-lambda)(1-lambda)-6cdot1 =lambda^2-lambda-6

Passo 3

Resolvendo lambda^2-lambda-6=0 obtemos os autovalores:
lambda=1pmraiz1+242=1pm52, portanto lambda1=3 e lambda2=-2.

Passo 4

Agora achamos os autovetores correspondentes. Para lambda1=3 resolvemos (A-3I)v=0:
-3 & 16 & -2xy=0 implies -3x+y=0implies y=3x Escolhendo x=1, um autovetor é v1=(1,3).

Passo 5

Para lambda2=-2 resolvemos (A+2I)w=0:
2 & 16 & 3xy=0 implies 2x+y=0implies y=-2x Escolhendo x=1, um autovetor é v2=(1,-2).

Passo 6

Montamos a matriz de passagem P=[v1;v2]=1 & 13 & -2. Na base v1,v2, a forma diagonal de A é
D=P^-1AP=3 & 00 & -2

Resposta

A forma diagonal de A é
D=3 & 00 & -2
na base de autovetores (1,3),(1,-2).

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