Uma matriz associada a uma TL é idempotente se
. Determine os autovalores de uma matriz desse tipo e dê um exemplo de uma dessas matrizes para uma transformação
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os autovalores de uma matriz idempotente (isto é, satisfazendo
) e em seguida dar um exemplo concreto em
. Vamos usar conceitos de autovalor/autovetor e explorar a condição de idempotência.
Passo 2
Seja
um autovetor de
associado ao autovalor
, ou seja,
com
. Aplicando
de novo, temos:
Mas como
Como
, podemos dividir por
e chegar em:
Passo 3
Logo, os únicos valores possíveis para
são
e
.
Passo 4
Para exemplificar, podemos escolher a projeção ortogonal no eixo
em
, definida por
Passo 5
Na base canônica, a matriz dessa transformação é
e de fato verifica-se facilmente que
Resposta
Os autovalores de uma matriz idempotente são
e
. Um exemplo em
é a matriz de projeção no eixo
que satisfaz
.