Uma matriz associada a uma TL é idempotente se A^2=A. Determine os autovalores de uma matriz desse tipo e dê um exemplo de uma dessas matrizes para uma transformação F: R^2 R^2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores de uma matriz idempotente (isto é, satisfazendo A^2 = A) e em seguida dar um exemplo concreto em R^2. Vamos usar conceitos de autovalor/autovetor e explorar a condição de idempotência.

Passo 2

Seja v um autovetor de A associado ao autovalor lambda, ou seja, Av = lambda v com v neq 0. Aplicando A de novo, temos:
A^2 v = A(Av) = A(lambda v) = lambda (Av) = lambda^2 v
Mas como A^2 = A, também vale A^2 v = A v = lambda v. Igualando as duas expressões para A^2 v obtemos:
lambda^2 v = lambda v
Como v neq 0, podemos dividir por v e chegar em:
lambda^2 = lambda Longrightarrow lambda(lambda - 1)=0

Passo 3

Logo, os únicos valores possíveis para lambda são 0 e 1.

Passo 4

Para exemplificar, podemos escolher a projeção ortogonal no eixo x em R^2, definida por
F(x,y) = (x,0)

Passo 5

Na base canônica, a matriz dessa transformação é
P = 1 & 0[6pt]0 & 0,
e de fato verifica-se facilmente que P^2 = P, ou seja, é idempotente.

Resposta

Os autovalores de uma matriz idempotente são 0 e 1. Um exemplo em R^2 é a matriz de projeção no eixo x
P = 1 & 00 & 0,
que satisfaz P^2 = P.

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