Encontre a forma diagonal das TLs na base canônica representadas pelas seguintes matrizes:
Passo 1
O enunciado pede para diagonalizar a matriz
. O conteúdo é diagonalização de transformações lineares: vamos precisar calcular o polinômio característico, achar autovalores e autovetores e então montar a matriz de mudança de base que leva
a uma forma diagonal.
Passo 2
Começamos encontrando o polinômio característico de
. Ele é dado por
:
Logo, os autovalores satisfazem
, ou seja,
.
Passo 3
Para cada autovalor
resolvemos
para achar os autovetores.
Para
:
Dá a equação
, ou seja
. Podemos escolher o autovetor
.
Para
:
Dá
, ou seja
. Podemos escolher
.
Passo 4
Agora montamos a matriz
cujas colunas são os autovetores
e
, e então
$$P=
,\quad D=P^{-1}AP=
.
$$
Isso mostra que em relação à base de autovetores a matriz
fica diagonal.
Isso mostra que em relação à base de autovetores
Passo 5
Concluímos que, escolhendo a base de autovetores, a forma diagonal de
é a matriz cujos elementos diagonais são seus autovalores.