Encontre a forma diagonal das TLs na base canônica representadas pelas seguintes matrizes:
ll0 & 1 2 & 0

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar a matriz A=0 & 12 & 0. O conteúdo é diagonalização de transformações lineares: vamos precisar calcular o polinômio característico, achar autovalores e autovetores e então montar a matriz de mudança de base que leva A a uma forma diagonal.

Passo 2

Começamos encontrando o polinômio característico de A. Ele é dado por det(A-lambda I):
detl(-lambda & 12 & -lambdar) = (-lambda)(-lambda)-2 = lambda^2-2
Logo, os autovalores satisfazem lambda^2-2=0, ou seja, lambda=pmraiz2.

Passo 3

Para cada autovalor lambda resolvemos (A-lambda I)v=0 para achar os autovetores.
Para lambda=raiz2:
-raiz2 & 12 & -raiz2xy=0
Dá a equação -raiz2x+y=0, ou seja y=raiz2x. Podemos escolher o autovetor v1=(1,raiz2).
Para lambda=-raiz2:
raiz2 & 12 & raiz2xy=0
raiz2x+y=0, ou seja y=-raiz2x. Podemos escolher v2=(1,-raiz2).

Passo 4

Agora montamos a matriz P cujas colunas são os autovetores v1 e v2, e então
$$P= P=1 & 1raiz2 & -raiz2, D=P^-1AP=raiz2 & 00 & -raiz2 ,\quad D=P^{-1}AP= (1,raiz2),(1,-raiz2).
$$
Isso mostra que em relação à base de autovetores A a matriz fica diagonal.

Passo 5

Concluímos que, escolhendo a base de autovetores, a forma diagonal de A é a matriz cujos elementos diagonais são seus autovalores.

Resposta

raiz2 & 00 & -raiz2

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