Determine bases ortonormais para
para as matrizes
abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos bases ortonormais de quatro subespaços associados à matriz
: o núcleo de
em
, o núcleo de
em
, a imagem de
em
e a imagem de
em
. Vamos usar as definições de núcleo e imagem, resolver sistemas lineares para achar bases, determinar dimensões via posto de
e aplicar o processo de Gram–Schmidt para ortonormalizar vetores.
Passo 2
Para achar
, resolvemos
, onde
[ A = . ]
As equações são
Da segunda vem ; substituindo na primeira:
dá
. Logo
Tomamos a base inicial com
. Note que
e
já são ortonormais e ortogonais a
. Basta normalizar
:
, então
.
[ A =
As equações são
Da segunda vem
Tomamos a base inicial
Passo 3
O núcleo de
está em
e tem dimensão
. Ou seja,
e a base ortonormal é o conjunto vazio.
e a base ortonormal é o conjunto vazio.
Passo 4
Como
, a imagem de
em
tem dimensão 2, logo é todo
. Uma base ortonormal usual é
Passo 5
Para
, que é o espaço gerado pelas linhas de
, usamos Gram–Schmidt em
Defina
Projete sobre
:
Então
Calcula-se , e assim
Portanto temos dois vetores ortonormais.
Defina
Projete
Então
Calcula-se
Portanto temos dois vetores ortonormais.