Determine bases ortonormais para ker A, ker A^t, Im A e Im A^t para as matrizes A abaixo:
rrrrr1 & 0 & 1 & 2 & 0 -1 & 0 & 0 & 2 & 0

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos bases ortonormais de quatro subespaços associados à matriz AinR^2times5: o núcleo de A em R^5, o núcleo de A^T em R^2, a imagem de A em R^2 e a imagem de A^T em R^5. Vamos usar as definições de núcleo e imagem, resolver sistemas lineares para achar bases, determinar dimensões via posto de A e aplicar o processo de Gram–Schmidt para ortonormalizar vetores.

Passo 2

Para achar ker A, resolvemos Ax=0, onde
[ A = 1 & 0 & 1 & 2 & 0 -1 & 0 & 0 & 2 & 0. ]
As equações são
x1 + x3 + 2x4 = 0 -x1 + 2x4 = 0
Da segunda vem x1=2x4; substituindo na primeira: 2x4+x3+2x4=0 x3=-4x4. Logo
e2,,v,,e5
Tomamos a base inicial v=(2,0,-4,1,0) com e2. Note que e5 e v já são ortonormais e ortogonais a v. Basta normalizar |v|=raiz4+16+1=raiz21: , então
.

Passo 3

O núcleo de A^T está em R^2 e tem dimensão 2-rank(A)=2-2=0. Ou seja,
ker A^T=0
e a base ortonormal é o conjunto vazio.

Passo 4

Como rank(A)=2, a imagem de A em R^2 tem dimensão 2, logo é todo R^2. Uma base ortonormal usual é
(1,0),,(0,1)

Passo 5

Para Im A^TsubsetR^5, que é o espaço gerado pelas linhas de A, usamos Gram–Schmidt em
r1=(1,0,1,2,0), r2=(-1,0,0,2,0)
Defina
r2
Projete u1 sobre |w2|=raiz7/2=tfracraiz142:

Então

Calcula-se , e assim

Portanto temos dois vetores ortonormais.

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