Encontre a solução
y^7+3 y^4+y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação polinomial y^7+3y^4+y=0. O conteúdo envolve fatoração de polinômios e resolução de equações do tipo y^3=t.

Passo 2

Começamos fatorando y em evidência:
y^7+3y^4+y = yl(y^6+3y^3+1r)=0
Desse produto, uma solução imediata é
y=0

Passo 3

As demais soluções vêm de
y^6+3y^3+1=0
Fazemos a substituição t=y^3. Assim a equação vira
t^2+3t+1=0

Passo 4

Resolvendo essa quadrática por fórmula de Bhaskara:
t = -3pmraiz9-42 = -3pmraiz52

Passo 5

Logo temos dois valores para t:
t1=-3+raiz52, t2=-3-raiz52

Passo 6

Agora voltamos a y^3=t. Para cada tj (com j=1,2) obtemos três raízes complexas, pois
y = raiz[3]tj,e^tfrac2pi i k3, k=0,1,2

Passo 7

Portanto, as soluções da equação original são y=0 e, para cada j=1,2 e k=0,1,2,
yj,k = raiz[3]-3+(-1)^j-1raiz52,e^tfrac2pi i k3

Resposta

As 7 raízes são:
  1. y=0
  2. y=\sqrt[3]{\tfrac{-3+\sqrt5}{2}}e^{2\pi i k/3}, k=0,1,2
  3. y=\sqrt[3]{\tfrac{-3-\sqrt5}{2}}e^{2\pi i k/3}, k=0,1,2

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