Verifique que os seguintes conjuntos, com operações de soma e multiplicação por escalar usuais, são espaços vetoriais:
, onde é o número imaginário.

Passo 1

O exercício pede para mostrar que o conjunto V = {a + i b | a,b ∈ ℝ} com as operações usuais forma um espaço vetorial sobre ℝ. Vamos usar o conceito de espaço vetorial e checar os axiomas.

Passo 2

Primeiro, verificamos a fechadura em V: dados v = a + i b e w = c + i d em V, a soma é
v + w = (a + c) + i,(b + d)
como a+c e b+d são reais, temos v+w ∈ V. Para qualquer escalar α ∈ ℝ,
α·v = α·(a + i b) = (αa) + i,(αb)
o que também pertence a V.

Passo 3

Depois, mostramos existência do elemento neutro e do inverso aditivo: o neutro é 0_V = 0 + i 0, pois para todo v = a + i b,
v + 0V = (a + i b) + (0 + i 0) = a + i b = v
O inverso de v é −v = (−a) + i(−b), que pertence a V e satisfaz v + (−v) = 0_V.

Passo 4

Agora, conferimos as demais propriedades que vêm da álgebra de ℝ: a soma em V é comutativa e associativa porque a soma em ℝ é; a multiplicação escalar satisfaz
1·v = v,
(α + β)·v = α·v + β·v,
α·(v + w) = α·v + α·w,
(αβ)·v = α·(β·v)
Todas essas igualdades valem em V pois se reduzem a propriedades da soma e produto em ℝ.

Passo 5

Como mostramos fechadura, existência de neutro e inverso, além das propriedades de soma e multiplicação escalar, concluímos que V satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre ℝ.

Resposta

V é um espaço vetorial sobre ℝ.

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