Verifique que os seguintes conjuntos, com operações de soma e multiplicação por escalar usuais, são espaços vetoriais:
, onde
é o número imaginário.
Passo 1
O exercício pede para mostrar que o conjunto V = {a + i b | a,b ∈ ℝ} com as operações usuais forma um espaço vetorial sobre ℝ. Vamos usar o conceito de espaço vetorial e checar os axiomas.
Passo 2
Primeiro, verificamos a fechadura em V: dados v = a + i b e w = c + i d em V, a soma é
como a+c e b+d são reais, temos v+w ∈ V. Para qualquer escalar α ∈ ℝ,
o que também pertence a V.
Passo 3
Depois, mostramos existência do elemento neutro e do inverso aditivo: o neutro é 0_V = 0 + i 0, pois para todo v = a + i b,
O inverso de v é −v = (−a) + i(−b), que pertence a V e satisfaz v + (−v) = 0_V.
Passo 4
Agora, conferimos as demais propriedades que vêm da álgebra de ℝ: a soma em V é comutativa e associativa porque a soma em ℝ é; a multiplicação escalar satisfaz
Todas essas igualdades valem em V pois se reduzem a propriedades da soma e produto em ℝ.
Passo 5
Como mostramos fechadura, existência de neutro e inverso, além das propriedades de soma e multiplicação escalar, concluímos que V satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre ℝ.
Resposta
V é um espaço vetorial sobre ℝ.