Mostre que a solução identicamente nula e y=x^{4} / 16 são soluções da EDO y^{\prime}=x \sqrt{y} com condição inicial y(0)=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y' = x\sqrt{y}
com condição inicial
y(0)=0.
O que precisamos fazer é verificar que as duas funções
y_1(x)=0 \quad\text{e}\quad y_2(x)=\frac{x^4}{16}
satisfazem tanto a EDO quanto a condição inicial.

Passo 2

Verificação de y_1(x)=0.
  1. Derivada:
y_1'(x)=0.
  1. No lado direito da EDO, temos
x\sqrt{y_1(x)}=x\sqrt{0}=0.
Logo
y_1'(x)=0 = x\sqrt{y_1(x)},
e obviamente
y_1(0)=0.
Portanto y_1(x)=0 satisfaz a EDO e a condição inicial.

Passo 3

Verificação de y_2(x)=\tfrac{x^4}{16}.
  1. Derivada:
y_2'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x^4}{16}\Bigr) =\frac{4x^3}{16} =\frac{x^3}{4}.
  1. No lado direito da EDO, usamos
\sqrt{y_2(x)} =\sqrt{\frac{x^4}{16}} =\frac{x^2}{4} \quad(\text{tomando a raiz não negativa, pois queremos solução real e }y_2\ge0).ãçã
Então
x\sqrt{y_2(x)} =x\cdot\frac{x^2}{4} =\frac{x^3}{4}.
Logo
y_2'(x)=\frac{x^3}{4} = x\sqrt{y_2(x)}.
E também
y_2(0)=\frac{0^4}{16}=0.
Portanto y_2(x)=\tfrac{x^4}{16} satisfaz a EDO e a condição inicial.

Resposta

As duas funções
y_1(x)=0 \quad\text{e}\quad y_2(x)=\frac{x^4}{16}
são soluções da equação diferencial y'=x\sqrt{y} com y(0)=0.

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