Verifique se y=e^3 x-2 é solução da equação diferencial y^prime-3 y=6. (1 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a função $ y = e^{3x} - 2 $ é solução da equação diferencial $ y’ - 3y = 6 $. Isso envolve calcular a derivada da função e substituir na equação pra ver se tudo se encaixa. Vamos precisar saber como derivar funções exponenciais e fazer umas substituições básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de $ y $. A função é $ y = e^{3x} - 2 $. A derivada de $ e^{3x} $ em relação a $ x $ é $ 3e^{3x} $ (usando a regra da cadeia), e a derivada de uma constante como -2 é 0. Então:
y

Passo 3

Agora, vamos substituir $ y $ e $ y’ $ na equação diferencial $ y’ - 3y = 6 $:
y

Passo 4

Vamos simplificar a expressão que obtivemos:
3e^3x - 3e^3x + 6 = 6
Viu só? Tudo cancelou e ficou igual a 6, que é exatamente o lado direito da equação.

Resposta

Sim, $ y = e^{3x} - 2 $ é uma solução da equação diferencial $ y’ - 3y = 6 $.

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