Verifique se as seguintes equações diferenciais são:
  • Separável, se A(x) d x+B(y) d y=0 (1 ponto)
    a) 1x+y d x=d y
    b) (2 x-1) d x-3 y d y=0
  • Homogênea, se f(t x, t y)=f(x, y), sabendo que a forma normal é d yd x=f(x, y). (1 ponto)
    c) y^prime=x+1y
    d) y^prime=x yy^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se as equações diferenciais dadas são separáveis ou homogêneas. Para isso, vamos usar os conceitos de equações separáveis, que têm a forma A(x) dx + B(y) dy = 0 , e equações homogêneas, onde f(tx, ty) = f(x, y) . Vamos precisar rearranjar as equações para ver qual categoria elas se encaixam.

Passo 2

a) 1x+y dx = dy
Primeiro, vamos manipular essa equação para ver se conseguimos separá-la:
1x+y dx - dy = 0
Para ser separável, deve ter A(x) dx + B(y) dy = 0 . Aqui, vemos que os termos de x e y estão misturados na fração 1x+y , o que não permite separar apenas funções de x e y . Portanto, não é uma equação separável.

Passo 3

b) (2x - 1) dx - 3y dy = 0
Vamos reescrever a equação:
(2x - 1) dx - 3y dy = 0
Aqui, os termos de x e y estão bem separados, com (2x - 1) multiplicando dx e -3y multiplicando dy . Isso se encaixa na forma A(x) dx + B(y) dy = 0 , onde A(x) = 2x - 1 e B(y) = -3y . Logo, essa equação é separável.

Passo 4

c) y' = x + 1y
Primeiro, vamos lembrar que uma equação é homogênea se f(tx, ty) = f(x, y) . Vamos verificar:
f(tx, ty) = tx + 1ty = txty + 1ty = xy + 1ty
Vemos que não condiz com f(x, y) porque há um termo que depende de t . Portanto, essa equação não é homogênea.

Passo 5

d) y' = xyy^2
Vamos simplificar a expressão:
y' = xyy^2 = xy
Agora, verificamos a homogeneidade:
f(tx, ty) = txty = xy = f(x, y)
Como f(tx, ty) = f(x, y) , a equação é homogênea.

Resposta

a) Não é separável
b) É separável
c) Não é homogênea
d) É homogênea

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