Verifique se as seguintes equações diferenciais são:
- Separável, se
(1 ponto)
a)
b)
- Homogênea, se
, sabendo que a forma normal é
. (1 ponto)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se as equações diferenciais dadas são separáveis ou homogêneas. Para isso, vamos usar os conceitos de equações separáveis, que têm a forma
, e equações homogêneas, onde
. Vamos precisar rearranjar as equações para ver qual categoria elas se encaixam.
Passo 2
a)
Primeiro, vamos manipular essa equação para ver se conseguimos separá-la:
Para ser separável, deve ter
. Aqui, vemos que os termos de
e
estão misturados na fração
, o que não permite separar apenas funções de
e
. Portanto, não é uma equação separável.
Passo 3
b)
Vamos reescrever a equação:
Aqui, os termos de
e
estão bem separados, com
multiplicando
e
multiplicando
. Isso se encaixa na forma
, onde
e
. Logo, essa equação é separável.
Passo 4
c)
Primeiro, vamos lembrar que uma equação é homogênea se
. Vamos verificar:
Vemos que não condiz com
porque há um termo que depende de
. Portanto, essa equação não é homogênea.
Passo 5
d)
Vamos simplificar a expressão:
Agora, verificamos a homogeneidade:
Como
, a equação é homogênea.
Resposta
a) Não é separável
b) É separável
c) Não é homogênea
d) É homogênea
b) É separável
c) Não é homogênea
d) É homogênea