Sejam U=(x, y, z) in R^3: x-2 y+z=0 e V=[(1,1,1),(1,-1,2),(0,2,-1)] subespaços de R^3.
Determine U cap V.

Passo 1

O enunciado define o plano
U = (x,y,z)inR^3 : x - 2y + z = 0
e o subespaço
V = span(1,1,1),,(1,-1,2),,(0,2,-1)
Queremos Ucap V, ou seja, todos os vetores de V que satisfazem a equação de U.

Passo 2

Parametrizamos um vetor genérico de V como combinação linear dos geradores:
v = a,(1,1,1) ;+; b,(1,-1,2);+; c,(0,2,-1)
Isso dá coordenadas
x = a + b, y = a - b + 2c, z = a + 2b - c

Passo 3

Para que v esteja em U precisa valer
x - 2y + z = 0
Substituindo as coordenadas:
(a+b);-;2,(a - b + 2c);+;(a + 2b - c);=;0

Passo 4

Desenvolvendo a soma:
a + b - 2a + 2b - 4c + a + 2b - c = 0 ;Longrightarrow; 5b - 5c = 0 ;Longrightarrow; b = c

Passo 5

Com b=c,
v = a,(1,1,1) ;+; bl[(1,-1,2)+(0,2,-1)r] = a,(1,1,1) + b,(1,1,1) = (a+b),(1,1,1)
Logo todo vetor em Ucap V é múltiplo de (1,1,1).

Resposta

Ucap V = lt,(1,1,1) : tinRr

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