Determine se cada afirmaçäo abaixo é verdadeira ou falsa. Se for falsa dê um contraexemplo ou mostre que é falsa. Se for verdadeira, justifique.
Se
e
são subespaços de
e
então
Se
Passo 1
O enunciado fala sobre subespaços
e
de
com
e
, e pede para verificar se necessariamente
O conteúdo é teoria de dimensão em espaços vetoriais e usaremos a fórmula de dimensão para a soma de subespaços.
Passo 2
Lembremos o Teorema da Dimensão para dois subespaços
e
de um espaço vetorial qualquer:
Aqui
é o subespaço gerado por todos os vetores de
e de
.
Passo 3
Aplicando essa fórmula a
e
, temos
Mas
é um subespaço de
, logo
Passo 4
Da desigualdade
segue
Isto mostra que
tem dimensão pelo menos
, ou seja, contém vetores diferentes de
.
Resposta
A afirmação é verdadeira.