Determine se cada afirmaçäo abaixo é verdadeira ou falsa. Se for falsa dê um contraexemplo ou mostre que é falsa. Se for verdadeira, justifique.
Se S1 e S2 são subespaços de R^3 com dim(S1)=2 e dim(S2)=2 então
S1 cap S2 neq(0,0,0)

Passo 1

O enunciado fala sobre subespaços S1 e S2 de R^3 com dim(S1)=2 e dim(S2)=2, e pede para verificar se necessariamente
S1cap S2neq(0,0,0)
O conteúdo é teoria de dimensão em espaços vetoriais e usaremos a fórmula de dimensão para a soma de subespaços.

Passo 2

Lembremos o Teorema da Dimensão para dois subespaços U e V de um espaço vetorial qualquer:
dim(U + V) = dim(U) + dim(V) - dim(U cap V)
Aqui U+V é o subespaço gerado por todos os vetores de U e de V.

Passo 3

Aplicando essa fórmula a S1 e S2, temos
dim(S1 + S2) = dim(S1) + dim(S2) - dim(S1cap S2) = 2 + 2 - dim(S1cap S2)
Mas S1+S2 é um subespaço de R^3, logo
dim(S1 + S2) <= 3

Passo 4

Da desigualdade
2 + 2 - dim(S1cap S2) <= 3
segue
4 - dim(S1cap S2) <= 3 Longrightarrow dim(S1cap S2) >= 1
Isto mostra que S1cap S2 tem dimensão pelo menos 1, ou seja, contém vetores diferentes de (0,0,0).

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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