Determine se cada afirmação a seguir é falsa ou verdadeira. Justifique. (Atribuição de V ou F sem justificativa não será pontuada)
( ) Se
é contínua em
, então
é derivável em
.
( ) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma afirmação que diz: “Se $ f $ é contínua em $ x = x_0 $, então $ f $ é derivável em $ x = x_0 $”. Nosso objetivo é descobrir se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos usar os conceitos de continuidade e derivabilidade, que são fundamentais no cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função $ f $ é contínua em um ponto $ x = x_0 $ se o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ x_0 $ é igual ao valor da função em $ x_0 $. Em outras palavras:
Isso significa que não tem “saltos” ou “buracos” no gráfico da função nesse ponto.
Passo 3
Agora, vamos relembrar o que é derivabilidade. Uma função $ f $ é derivável em $ x = x_0 $ se a derivada $ f’(x_0) $ existe. Isso envolve que o limite da taxa de variação da função existe:
Para que a derivada exista, a função precisa ser “suave” no ponto, ou seja, não pode ter cantos ou pontos angulares.
Passo 4
A afirmação diz que se a função é contínua em $ x_0 $, então ela é derivável em $ x_0 $. Vamos pensar nisso: ser contínuo garante que a função não tem saltos, mas isso não necessariamente significa que ela é suave naquele ponto. Pode haver um “canto” na função onde ela é contínua, mas não derivável.
Passo 5
Para confirmar que a afirmação é falsa, vamos dar um exemplo. Considere a função:
Essa função é contínua em $ x = 0 $ porque:
No entanto, ela não é derivável em $ x = 0 $ porque há um “canto” ali. O limite da derivada pela esquerda é -1 e pela direita é 1, então o limite geral não existe.
Resposta
A afirmação é falsa. Uma função pode ser contínua em $ x = x_0 $ sem ser derivável nesse ponto, como no exemplo da função $ f(x) = |x| $, que é contínua em $ 0 $ mas não derivável em $ 0 $.