Determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
O produto escalar em R^2 é um exemplo de produto interno ponderado.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o produto escalar usual em R^2 é um caso de “produto interno ponderado”. O conteúdo envolve a definição de produto interno ponderado em espaços reais de dimensão finita.

Passo 2

Definição de produto interno ponderado em R^2: dados dois vetores x=(x1,x2) e y=(y1,y2), um produto interno ponderado é
lang<= x,yrang<=w = w1,x1,y1 + w2,x2,y2
onde w1>0 e w2>0 são pesos fixos.

Passo 3

O produto escalar usual em R^2 é
lang<= x,yrang<= = x1,y1 + x2,y2
Neste caso, basta escolher w1=1 e w2=1 para ver que
lang<= x,yrang<= = 1cdot x1,y1 + 1cdot x2,y2 = lang<= x,yrang<=w

Passo 4

Como todo produto interno ponderado admite pesos genéricos positivos e o caso w1=w2=1 recupera exatamente o produto escalar usual, concluímos que o produto escalar é um caso particular de produto interno ponderado.

Resposta

Verdadeira.

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