Seja
uma matriz 2 x 2 simétrica em
, isto é, tal que
. Mostre que
é diagonalizável. (Sugestão: Mostre que o polinômio caracteristico possui duas raízes reais distintas).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que toda matriz simétrica
em
é diagonalizável. Para isso, vamos escrever a matriz genérica, obter seu polinômio característico, verificar que ele tem raízes reais (e em geral distintas) e então usar o fato de que uma matriz com dois autovalores reais distintos é diagonalizável (e, no caso degenerado de autovalor duplo, mostraremos que a matriz já é escalar, logo diagonal).
Passo 2
Seja
com
e
. O polinômio característico de
é
Passo 3
Expandindo, temos
O discriminante desse polinômio é
Como
e
, segue que
. Logo, as raízes de
são reais.
Passo 4
Se
, então
tem duas raízes reais distintas
. Por um teorema padrão de álgebra linear, duas autovalores distintos geram dois autovetores linearmente independentes, o que garante que
seja diagonalizável.
Se , então
implica
e
, ou seja,
Se
Nesse caso,
já é matriz diagonal (todas as bases são de autovetores), portanto também é diagonalizável.
Resposta
Qualquer matriz simétrica
em
é diagonalizável.