Seja A uma matriz 2 x 2 simétrica em M2(R), isto é, tal que A^t=A. Mostre que A é diagonalizável. (Sugestão: Mostre que o polinômio caracteristico possui duas raízes reais distintas).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que toda matriz simétrica 2times2 em M2(R) é diagonalizável. Para isso, vamos escrever a matriz genérica, obter seu polinômio característico, verificar que ele tem raízes reais (e em geral distintas) e então usar o fato de que uma matriz com dois autovalores reais distintos é diagonalizável (e, no caso degenerado de autovalor duplo, mostraremos que a matriz já é escalar, logo diagonal).

Passo 2

Seja
A = a & b[6pt] b & d ,
com a,b,dinR e A^t=A. O polinômio característico de A é
p(lambda)=det(A - lambda I) =det! a-lambda & b[4pt] b & d-lambda =(a-lambda)(d-lambda)-b^2 ]

Passo 3

Expandindo, temos
p(lambda) =lambda^2 - (a+d),lambda + (ad - b^2)
O discriminante desse polinômio é
De<a = (a+d)^2 - 4,(ad - b^2) =(a-d)^2 + 4b^2
Como (a-d)^2>=0 e 4b^2>=0, segue que De<a>=0. Logo, as raízes de p(lambda) são reais.

Passo 4

Se De<a>0, então p(lambda) tem duas raízes reais distintas lambda1neq lambda2. Por um teorema padrão de álgebra linear, duas autovalores distintos geram dois autovetores linearmente independentes, o que garante que A seja diagonalizável.
Se De<a=0, então (a-d)^2+4b^2=0 implica a=d e b=0, ou seja,
A=a&00&a=aI
Nesse caso, A já é matriz diagonal (todas as bases são de autovetores), portanto também é diagonalizável.

Resposta

Qualquer matriz simétrica 2times2 em M2(R) é diagonalizável.

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