Determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
O produto interno de dois vetores não pode ser um número real negativo.

Passo 1

O enunciado pergunta se a afirmação “o produto interno de dois vetores não pode ser um número real negativo” é verdadeira ou falsa. O conteúdo aqui é o produto interno (ou dot-product) em espaços euclidianos, cujas propriedades incluem simetria, bilinearidade (ou linearidade) e positividade definida em cada vetor. Vamos usar a definição e as propriedades para decidir.

Passo 2

Recordando a definição clássica em R^n: dado u=(u1,dots,un) e v=(v1,dots,vn), o produto interno é
lang<= u,vrang<= = sumi=1^n ui,vi
Ele satisfaz lang<= v,vrang<=>=0 e lang<= v,vrang<==0 só se v=0, mas nada impede que lang<= u,vrang<= seja negativo quando uneq v.

Passo 3

Outra forma de ver o sinal é pela relação com o ângulo theta entre u e v:
lang<= u,vrang<= = |u|;|v|costheta
Se thetain(tfracpi2,pi), então costheta<0 e, desde que uneq0 e vneq0, segue lang<= u,vrang<=<0.

Passo 4

Para ilustrar, basta um contraexemplo simples em R^2. Seja
u = (1,0), v = (-1,0)
Então
lang<= u,vrang<= = 1cdot(-1) + 0cdot0 = -1 < 0
Isso mostra que o produto interno pode ser negativo.

Resposta

Falsa.

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