Determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
O produto interno de dois vetores não pode ser um número real negativo.
O produto interno de dois vetores não pode ser um número real negativo.
Passo 1
O enunciado pergunta se a afirmação “o produto interno de dois vetores não pode ser um número real negativo” é verdadeira ou falsa. O conteúdo aqui é o produto interno (ou dot-product) em espaços euclidianos, cujas propriedades incluem simetria, bilinearidade (ou linearidade) e positividade definida em cada vetor. Vamos usar a definição e as propriedades para decidir.
Passo 2
Recordando a definição clássica em
: dado
e
, o produto interno é
Ele satisfaz
e
só se
, mas nada impede que
seja negativo quando
.
Passo 3
Outra forma de ver o sinal é pela relação com o ângulo
entre
e
:
Se
, então
e, desde que
e
, segue
.
Passo 4
Para ilustrar, basta um contraexemplo simples em
. Seja
Então
Isso mostra que o produto interno pode ser negativo.
Resposta
Falsa.