Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira
ou falsa
?
Se
é uma aplicação linear sobrejetora, então 0 é autovalor de
;
Se
Passo 1
O enunciado diz que temos uma transformação linear
que é sobrejetora. Aqui é o espaço dos polinômios de grau no máximo
, que tem dimensão
. Vamos usar o Teorema da Dimensão (teorema do Núcleo e Imagem) e a definição de autovalor para decidir se
pode ser autovalor de
.
que é sobrejetora. Aqui
Passo 2
Pelo Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo e Imagem) temos
Como
é sobrejetora,
. Logo
ou seja,
e
é injetora. Na prática,
é invertível.
Passo 3
Por definição,
é autovalor de
se existe
tal que
. Mas como
, não há polinômio não-nulo que vá para zero. Logo
não é autovalor de
.
Resposta
F