Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira (V) ou falsa (F)?
Se T: P^3 P^3 é uma aplicação linear sobrejetora, então 0 é autovalor de T;

Passo 1

O enunciado diz que temos uma transformação linear
T:P^3toP^3
que é sobrejetora. Aqui P^3 é o espaço dos polinômios de grau no máximo 3, que tem dimensão 4. Vamos usar o Teorema da Dimensão (teorema do Núcleo e Imagem) e a definição de autovalor para decidir se 0 pode ser autovalor de T.

Passo 2

Pelo Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo e Imagem) temos
dim(ker T) + dim(imT) ;=;dim(P^3);=;4
Como T é sobrejetora, dim(imT)=4. Logo
dim(ker T)=4-4=0,
ou seja, ker T=0 e T é injetora. Na prática, T é invertível.

Passo 3

Por definição, 0 é autovalor de T se existe pneq0 tal que T(p)=0. Mas como ker T=0, não há polinômio não-nulo que vá para zero. Logo 0 não é autovalor de T.

Resposta

F

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